Determinar a distância do ponto P ao plano \pi, nos seguintes casos:
d) P=(3,1,-1), \quad \pi:\left\{\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+z=1\right..

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(3,1,-1) ao plano \pi\colon \tfrac{x}{2}+\tfrac{y}{3}+z=1. O conteúdo aqui é a fórmula da distância de um ponto a um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Precisamos escrever a equação de \pi na forma \r
a x + b y + c z + d = 0.\r
Multiplicando \tfrac{x}{2}+\tfrac{y}{3}+z=1 por 6, obtemos\r
3x + 2y + 6z = 6\r
ou seja\r
3x + 2y + 6z - 6 = 0,\r
logo a=3, b=2, c=6 e d=-6.

Passo 3

A fórmula da distância de (x_0,y_0,z_0) ao plano a x + b y + c z + d =0 é\r
d = \frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.

Passo 4

Substituindo P=(3,1,-1) e (a,b,c,d)=(3,2,6,-6) na fórmula:\r
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 3\cdot3 + 2\cdot1 + 6\cdot(-1) - 6 = 9 + 2 - 6 - 6 = -1,
\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7.\r
Portanto,\r
d = \frac{\bigl|-1\bigr|}{7} = \frac{1}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{7}

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