Determinar a distância entre o ponto \mathrm{P}(3, -1) e a reta r: x+2 y-4=0.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O ponto P(3,-1).
  • A reta r dada pela equação x+2y-4=0.
O que foi pedido:
  • Determinar a distância entre o ponto P(3,-1) e a reta r.

Passo 2

Ideia geométrica e fórmula geral (explicação didática).
  • A distância entre um ponto e uma reta é o comprimento do segmento perpendicular à reta que parte do ponto e encontra a reta.
  • Se a reta está escrita na forma geral a x + b y + c = 0, um vetor normal à reta é \mathbf{n}=(a,b). Isso significa que a direção perpendicular à reta é dada por (a,b).
  • Seja P(x_0,y_0) o ponto. Escolhendo qualquer ponto Q sobre a reta, o vetor \overrightarrow{Q P}=(x_0-x_Q,y_0-y_Q). A projeção (em valor absoluto) de \overrightarrow{Q P} sobre a direção normal \mathbf{n} dá a distância procurada, dividida pelo comprimento de \mathbf{n}.
  • Fazendo as contas formais e usando que a x_Q + b y_Q + c = 0 (porque Q está na reta), obtém-se a fórmula conhecida:
\text{distância}=\frac{\lvert a x_0 + b y_0 + c\rvert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.â
Aqui:
  • a,b,c são os coeficientes da equação da reta a x + b y + c = 0.
  • (x_0,y_0) são as coordenadas do ponto.
  • O módulo \lvert\cdot\rvert garante que a distância seja não negativa.
  • O denominador \sqrt{a^{2}+b^{2}} é o comprimento do vetor normal (a,b).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado.
  • Identificamos os coeficientes da reta x+2y-4=0: a=1, b=2, c=-4.
  • As coordenadas do ponto são x_0=3 e y_0=-1.
  • Substituindo na fórmula:
\text{distância}=\frac{\lvert 1\cdot 3 + 2\cdot(-1) + (-4)\rvert}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}.â
  • Calculemos o numerador passo a passo:
1\cdot 3 + 2\cdot(-1) + (-4)=3-2-4=-3,
logo \lvert -3\rvert=3.
  • Calculemos o denominador:
\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
  • Portanto
\text{distância}=\frac{3}{\sqrt{5}}.â

Passo 4

Opcional: racionalizar o denominador (forma equivalente frequentemente preferida).
\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.

Passo 5

Verificação alternativa (encontre o pé da perpendicular e calcule o comprimento).
  • A reta perpendicular a r que passa por P(3,-1) tem direção igual ao vetor normal (1,2), logo pontos nela são (x,y)=(3+t,\,-1+2t).
  • Interseção com r: substituir em x+2y-4=0:
(3+t)+2(-1+2t)-4=0 \Rightarrow 3+t-2+4t-4=0 \Rightarrow 5t-3=0 \Rightarrow t=\frac{3}{5}.
  • Ponto de contato (pé) H é
H\left(3+\frac{3}{5},\,-1+\frac{6}{5}\right)=\left(\frac{18}{5},\frac{1}{5}\right).
  • Comprimento PH:
PH=\sqrt{\left(3-\frac{18}{5}\right)^{2}+\left(-1-\frac{1}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{36}{25}}=\sqrt{\frac{45}{25}}=\frac{3}{\sqrt{5}}.
Confirma a resposta anterior.

Resposta

\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}

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