Determinar a distância entre o ponto \mathrm{P}(3, -1) e a reta r: x+2 y-4=0.
Passo 1
O enunciado nos dá:
O ponto P(3,-1).
A reta r dada pela equação x+2y-4=0.
O que foi pedido:
Determinar a distância entre o ponto P(3,-1) e a reta r.
Passo 2
Ideia geométrica e fórmula geral (explicação didática).
A distância entre um ponto e uma reta é o comprimento do segmento perpendicular à reta que parte do ponto e encontra a reta.
Se a reta está escrita na forma geral a x + b y + c = 0, um vetor normal à reta é \mathbf{n}=(a,b). Isso significa que a direção perpendicular à reta é dada por (a,b).
Seja P(x_0,y_0) o ponto. Escolhendo qualquer ponto Q sobre a reta, o vetor \overrightarrow{Q P}=(x_0-x_Q,y_0-y_Q). A projeção (em valor absoluto) de \overrightarrow{Q P} sobre a direção normal \mathbf{n} dá a distância procurada, dividida pelo comprimento de \mathbf{n}.
Fazendo as contas formais e usando que a x_Q + b y_Q + c = 0 (porque Q está na reta), obtém-se a fórmula conhecida:
\text{distância}=\frac{\lvert a x_0 + b y_0 + c\rvert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.â
Aqui:
a,b,c são os coeficientes da equação da reta a x + b y + c = 0.
(x_0,y_0) são as coordenadas do ponto.
O módulo \lvert\cdot\rvert garante que a distância seja não negativa.
O denominador \sqrt{a^{2}+b^{2}} é o comprimento do vetor normal (a,b).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado.
Identificamos os coeficientes da reta x+2y-4=0: a=1, b=2, c=-4.