Determinar a distância do ponto A(-4,-3,5) à reta que passa pelos pontos P(2,7,0) e Q(5,-4,-2).

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto A(-4,-3,5) à reta que passa por P(2,7,0) e Q(5,-4,-2). O conteúdo é geometria vetorial em R^3: a fórmula aponta que, se ell é a reta por P e Q, então
dist(A,ell) = |PAtimesPQ||PQ|
Para resolver, precisamos dos vetores PQ, PA, do produto vetorial e das suas normas.

Passo 2

Calcular os vetores PQ e PA.
PQ=Q-P=(5-2,,-4-7,,-2-0)=(3,,-11,,-2),
PA=A-P=(-4-2,,-3-7,,5-0)=(-6,,-10,,5)

Passo 3

Computar o produto vetorial PAtimesPQ.
PAtimesPQ = i&j&k -6&-10&5 3&-11&-2 =(75),i+(3),j+(96),k =(75,,3,,96)

Passo 4

Calcular as normas:
|PAtimesPQ| =raiz75^2+3^2+96^2 =raiz5625+9+9216 =raiz14850 =15raiz66,
|PQ| =raiz3^2+(-11)^2+(-2)^2 =raiz9+121+4 =raiz134

Passo 5

Aplicar a fórmula da distância:
dist(A,ell) =15raiz66raiz134 =15raiz66134 =15raiz3367

Resposta

A distância é
boxed,15raiz66raiz134;=;15raiz3367,

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