Verifique que lambda é autovalor e vlambda é o respectivo autovetor do operador T: C(R) C(R) nos casos:
T(f(t))=f^prime prime(t) ; lambda=-omega^2 ; vlambda=sen(omega t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que lambda=-omega^2 é autovalor e vlambda(t)=sin(omega t) é o respectivo autovetor (ou autofunção) do operador linear Tcolon C(R)to C(R) definido por T(f)=f''. Vamos usar a definição de autovalor/autovetor, que exige T(vlambda)=lambda,vlambda.

Passo 2

Aplicamos T em vlambda, ou seja, calculamos a segunda derivada de sin(omega t):
d^2dt^2sin(omega t) = ddtl(omegacos(omega t)r) = omegacdot(-omegasin(omega t)) = -omega^2sin(omega t)

Passo 3

Portanto
T(vlambda)(t) = vlambda''(t) = -omega^2sin(omega t) = lambda,vlambda(t),
o que mostra que sin(omega t) é autofunção associada a lambda=-omega^2.

Resposta

Foi verificado que lambda=-omega^2 é autovalor e vlambda(t)=sin(omega t) é o respectivo autovetor do operador T.

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