Determinar as distâncias dos seguintes pares de pontos:
\mathrm{P}=(1,1,-1) e \mathrm{Q}=(3,-5,2)

Passo 1

O enunciado pede a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Estamos em \mathbb{R}^3 com P=(1,1,-1) e Q=(3,-5,2). Para resolver, vamos usar a fórmula da distância euclidiana entre dois pontos em \mathbb{R}^3.

Passo 2

A fórmula da distância entre P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2) é
d(P,Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.

Passo 3

Substituindo as coordenadas de P e Q:
d(P,Q) = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-5 - 1)^2 + \bigl(2 - (-1)\bigr)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2}.

Passo 4

Calculando os quadrados e somando:
2^2 = 4,\quad (-6)^2 = 36,\quad 3^2 = 9,
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d(P,Q) = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7.

Resposta

7

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