Démonstrar que o triângulo ABC é isósceles, nos seguintes casos:
\mathrm{A}=(2,-1,2), \quad \mathrm{B}=(1,2,0), \quad \mathrm{C}=(4,0,-1).

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo ABC:
A=(2,-1,2),\quad B=(1,2,0),\quad C=(4,0,-1),
e pede para mostrar que ele é isósceles. Para isso vamos usar o conceito de distância entre dois pontos no espaço, isto é, a norma Euclidiana dos vetores que unem esses pontos.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{AB} e o seu quadrado da norma:
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2,\;2-(-1),\;0-2)=(-1,3,-2),
\|\overrightarrow{AB}\|^2=(-1)^2+3^2+(-2)^2=1+9+4=14.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{BC} e o seu quadrado da norma:
\overrightarrow{BC}=C-B=(4-1,\;0-2,\;-1-0)=(3,-2,-1),
\|\overrightarrow{BC}\|^2=3^2+(-2)^2+(-1)^2=9+4+1=14.

Passo 4

Calcular o vetor \overrightarrow{CA} e o seu quadrado da norma:
\overrightarrow{CA}=A-C=(2-4,\;-1-0,\;2-(-1))=(-2,-1,3),
\|\overrightarrow{CA}\|^2=(-2)^2+(-1)^2+3^2=4+1+9=14.

Passo 5

Como \|\overrightarrow{AB}\|^2=\|\overrightarrow{BC}\|^2=\|\overrightarrow{CA}\|^2=14, segue que
AB=BC=CA.
Logo o triângulo ABC tem pelo menos dois lados iguais, isto é, é isósceles (na verdade é equilátero).

Resposta

O triângulo ABC é isósceles (e, na verdade, equilátero) pois AB=BC=CA.

Exercícios relacionados