(1 ponto) Dê a equaçāo de um plano em
que nāo é um subespaço de
. Dica: dar a equação geral fica mais fácil!
IMPORTANTE: Escreva todo seu raciocínio de naneira clara. Respostas sem justificativa serāo desconsideradas. Prova individual e com consulta na “folha de cola”. Nesta folha devem conter apenas definiçōes e resultados. Folhas que contenham exemplos ou exercícios serāo consideradas cola. Entregue a folha juntamente com a prova. Não é permitido o uso de eletrônicos (celular, calculadora, etc.)
Passo 1
O enunciado pede uma equação de plano em
que não seja subespaço de
. O conteúdo envolvido é a caracterização de planos em
pela forma geral e o critério para um subconjunto ser subespaço (especialmente, conter o vetor zero e ser fechado para soma e multiplicação escalar).
Passo 2
Em
, um plano pode ser dado pela equação geral
onde
. Sabemos que esse conjunto é um subespaço de
se e somente se ele contiver o vetor zero. Substituindo
na equação, obtemos
. Logo, para que o plano não seja subespaço, basta escolher
.
Passo 3
Tomemos como exemplo o plano
ou seja,
,
,
e
.
Passo 4
Verificamos que o vetor zero
não está no plano, pois
Como um subespaço deve conter o vetor zero, concluímos que este plano não é subespaço de
.
Resposta
A equação de um plano que não é subespaço de
é, por exemplo,