(1 ponto) Dê a equaçāo de um plano em \mathbb{R}^{3} que nāo é um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Dica: dar a equação geral fica mais fácil!
IMPORTANTE: Escreva todo seu raciocínio de naneira clara. Respostas sem justificativa serāo desconsideradas. Prova individual e com consulta na “folha de cola”. Nesta folha devem conter apenas definiçōes e resultados. Folhas que contenham exemplos ou exercícios serāo consideradas cola. Entregue a folha juntamente com a prova. Não é permitido o uso de eletrônicos (celular, calculadora, etc.)

Passo 1

O enunciado pede uma equação de plano em \mathbb{R}^3 que não seja subespaço de \mathbb{R}^3. O conteúdo envolvido é a caracterização de planos em \mathbb{R}^3 pela forma geral e o critério para um subconjunto ser subespaço (especialmente, conter o vetor zero e ser fechado para soma e multiplicação escalar).

Passo 2

Em \mathbb{R}^3, um plano pode ser dado pela equação geral
a x + b y + c z = d,
onde (a,b,c)\neq(0,0,0). Sabemos que esse conjunto é um subespaço de \mathbb{R}^3 se e somente se ele contiver o vetor zero. Substituindo (x,y,z)=(0,0,0) na equação, obtemos 0= d. Logo, para que o plano não seja subespaço, basta escolher d\neq0.

Passo 3

Tomemos como exemplo o plano
x + 2y + 3z = 4,
ou seja, a=1, b=2, c=3 e d=4\neq0.

Passo 4

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) não está no plano, pois
1\cdot 0 + 2\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0 \neq 4.
Como um subespaço deve conter o vetor zero, concluímos que este plano não é subespaço de \mathbb{R}^3.

Resposta

A equação de um plano que não é subespaço de \mathbb{R}^3 é, por exemplo,
x + 2y + 3z = 4.

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