Determinar o valor do diâmetro médio de partícula cujo volume é igual ao volume médio das particulas presentes na amostra.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o valor do diâmetro (chamemos de D) de uma partícula tal que o volume dessa partícula (assumindo partícula esférica) seja igual ao volume médio das partículas presentes na amostra.
Informações que vamos usar (assumi que as partículas são esferas — se não for esse caso, avise que não dá para continuar):
  • Para cada partícula i da amostra existe um diâmetro d_i.
  • O volume de uma partícula esférica de diâmetro d_i é dado por v_i=\dfrac{\pi}{6}\,d_i^{3}.
  • A amostra tem N partículas (caso discreto). Também darei a fórmula equivalente para distribuição contínua de tamanhos.
Não vou resolver nada ainda; só organizei o que é pedido e os dados que vou usar.

Passo 2

Definindo o volume médio da amostra (média aritmética dos volumes): se as partículas são i=1,\dots,N, o volume médio é
\bar v=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} v_i.
Explicação rápida: a média aritmética é a soma dos valores dividida pelo número de valores. Aqui somamos todos os volumes e dividimos por N para obter o volume médio por partícula.

Passo 3

Escrevendo cada volume em função do diâmetro usando a fórmula da esfera:
v_i=\frac{\pi}{6}\,d_i^{3}.
Substituindo na expressão da média:
\bar v=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\pi}{6}\,d_i^{3}\right).
Como \dfrac{\pi}{6} é constante, pode sair da soma:
\bar v=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} d_i^{3}.

Passo 4

Agora imponho a condição do enunciado: o diâmetro D procurado deve satisfazer que o volume da esfera de diâmetro D seja igual a \bar v. Ou seja,
\frac{\pi}{6}\,D^{3}=\bar v.
Substituindo a expressão de \bar v obtida no passo anterior:
\frac{\pi}{6}\,D^{3}=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} d_i^{3}.
Cancelando \dfrac{\pi}{6} dos dois lados (pois é diferente de zero), obtemos
D^{3}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} d_i^{3}.
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
D=\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} d_i^{3}\right)^{1/3}.
Explicação didática: o diâmetro buscado é a média cúbica dos diâmetros da amostra — também chamada de média de terceira potência ou média geométrica do terceiro momento. Isso faz sentido físico porque o volume escala como d^{3}, então a média de volumes corresponde à média dos cubos dos diâmetros, e o diâmetro equivalente é a raiz cúbica dessa média.

Passo 5

Forma contínua (caso a amostra seja descrita por uma função densidade de número n(d), onde n(d)\,dd é o número de partículas com diâmetro entre d e d+dd):
  • Número total de partículas: N=\displaystyle\int n(d)\,dd.
  • Soma dos volumes: \displaystyle\int \frac{\pi}{6}d^{3} n(d)\,dd.
    Logo, o diâmetro equivalente fica
D=\left(\frac{\displaystyle\int d^{3} n(d)\,dd}{\displaystyle\int n(d)\,dd}\right)^{1/3}.
Se n(d) estiver normalizada (isto é, \int n(d)\,dd=1), simplifica para D=\big(\int d^{3} n(d)\,dd\big)^{1/3}.

Passo 6

Exemplo numérico pequeno para fixar a ideia. Suponha três partículas com diâmetros \;d_1=1,\;d_2=2,\;d_3=3 (unidades quaisquer). Calculo:
\frac{1}{N}\sum_{i=1}^3 d_i^{3}=\frac{1}{3}\big(1^{3}+2^{3}+3^{3}\big)=\frac{1}{3}(1+8+27)=\frac{36}{3}=12.
Portanto
D=12^{1/3}\approx 2{,}2894.
Verificação rápida: volume médio \bar v=\dfrac{\pi}{6}\cdot 12 e volume da esfera de diâmetro D é \dfrac{\pi}{6}D^{3}=\dfrac{\pi}{6}\cdot 12, iguais como esperado.

Resposta

D=\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} d_i^{3}\right)^{1/3}
\text{(ou, em forma contínua) }D=\left(\frac{\displaystyle\int d^{3} n(d)\,dd}{\displaystyle\int n(d)\,dd}\right)^{1/3}í

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