Determinar o valor do diâmetro médio de partícula cujo volume é igual ao volume médio das particulas presentes na amostra.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o valor do diâmetro (chamemos de D) de uma partícula tal que o volume dessa partícula (assumindo partícula esférica) seja igual ao volume médio das partículas presentes na amostra.
Informações que vamos usar (assumi que as partículas são esferas — se não for esse caso, avise que não dá para continuar):
Para cada partícula i da amostra existe um diâmetro d_i.
O volume de uma partícula esférica de diâmetro d_i é dado por v_i=\dfrac{\pi}{6}\,d_i^{3}.
A amostra tem N partículas (caso discreto). Também darei a fórmula equivalente para distribuição contínua de tamanhos.
Não vou resolver nada ainda; só organizei o que é pedido e os dados que vou usar.
Passo 2
Definindo o volume médio da amostra (média aritmética dos volumes): se as partículas são i=1,\dots,N, o volume médio é
\bar v=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} v_i.
Explicação rápida: a média aritmética é a soma dos valores dividida pelo número de valores. Aqui somamos todos os volumes e dividimos por N para obter o volume médio por partícula.
Passo 3
Escrevendo cada volume em função do diâmetro usando a fórmula da esfera:
Explicação didática: o diâmetro buscado é a média cúbica dos diâmetros da amostra — também chamada de média de terceira potência ou média geométrica do terceiro momento. Isso faz sentido físico porque o volume escala como d^{3}, então a média de volumes corresponde à média dos cubos dos diâmetros, e o diâmetro equivalente é a raiz cúbica dessa média.
Passo 5
Forma contínua (caso a amostra seja descrita por uma função densidade de número n(d), onde n(d)\,dd é o número de partículas com diâmetro entre d e d+dd):
Número total de partículas: N=\displaystyle\int n(d)\,dd.
Soma dos volumes: \displaystyle\int \frac{\pi}{6}d^{3} n(d)\,dd.
Logo, o diâmetro equivalente fica
Verificação rápida: volume médio \bar v=\dfrac{\pi}{6}\cdot 12 e volume da esfera de diâmetro D é \dfrac{\pi}{6}D^{3}=\dfrac{\pi}{6}\cdot 12, iguais como esperado.