Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida pela equação
no ponto
. Para isso, vamos usar o diferenciamento implícito, que ajuda a encontrar a derivada quando a função não está isolada em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que, quando a gente tem termos envolvendo
, que também depende de
, a gente precisa aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo:
-
Para
: - Use a regra do produto: derivada de
é , multiplicado por , mais vezes a derivada de . - A derivada de
é (pela cadeia).
- Use a regra do produto: derivada de
-
Para
: - Novamente, a regra do produto: derivada de
é , multiplicado por , mais vezes a derivada de , que é .
- Novamente, a regra do produto: derivada de
Então, fica assim:
Passo 4
Agora, vamos organizar os termos que contêm
e os que não contêm:
Para isolar
, subtraímos
dos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 5
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
e
na expressão da derivada:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Resposta
A equação da reta tangente no ponto
é:
Ou, simplificando: