Determinar o domínio das funçōes:
f(x, y)=e^x-y, g(x, y)=cos (x yx^2 y^2+1) e h(x, y, z)=ln (1+x^2 y^2 z^2)
Além disso determinar o conjunto de pontos onde cada uma é contínua.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar o domínio das funções de várias variáveis e também dizer onde cada uma é contínua. O assunto aqui é função de várias variáveis, e vamos precisar lembrar dos domínios das funções elementares (expo, cosseno, log) e da regra de que composições de funções contínuas são contínuas.

Passo 2

Vamos começar por f(x,y)=e^x-y. A exponencial e^u está definida para todo x-y, e x,y é um polinômio em R^2 definido em todo f. Logo o domínio de R^2 é x-y. Como e^u e f(x,y)=e^x-y são contínuos em seus domínios, a composição R^2 é contínua em todo .

Passo 3

Agora g(x,y)=cosl(tfracxyx^2y^2+1r). Primeiro note que o denominador x^2y^2+1 nunca se anula, pois x^2y^2>=0 implica x^2y^2+1>=1. Então tfracxyx^2y^2+1 está bem definido em todo R^2. E como cos(u) é definida para todo uinR, o domínio de g é R^2. Pelo mesmo motivo de composição de funções contínuas (produto, soma, quociente sem zeros no denominador e cos) vemos que g é contínua em todo R^2.

Passo 4

Por fim h(x,y,z)=lnl(1+x^2y^2z^2r). O logaritmo natural ln(u) exige u>0. Mas 1+x^2y^2z^2>=1>0 para todos (x,y,z)inR^3. Portanto o domínio de h é R^3. Como 1+x^2y^2z^2 é um polinômio (contínuo) e ln(u) é contínuo em (0,infty), a composição é contínua em todo R^3.

Resposta

Dom(f)=R^2, Dom(g)=R^2, Dom(h)=R^3. As três funções são contínuas em seus respectivos domínios: f e g em R^2 e h em R^3.

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