Seja
f(x)=lx, se x <= 0, x-x^2, se 0= 1 é derivável em f? E em x=0? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x) que é definida de três jeitos diferentes dependendo do valor de x. O exercício quer saber se essa função é derivável nos pontos x=0 e x=1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como verificar se a função é suave (derivável) nesses pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(x) é derivável em x=0. Para isso, precisamos calcular a derivada da função à esquerda de 0 e à direita de 0 e ver se elas são iguais.
  • À esquerda de 0 ( x <= 0): A função é f(x) = x. A derivada de x em relação a x é f'(x) = 1.
  • À direita de 0 ( 0 < x < 1): A função é f(x) = x - x^2. A derivada dessa parte é f'(x) = 1 - 2x. Avaliando em x=0, temos f'(0) = 1 - 2(0) = 1.
Como as derivadas à esquerda e à direita de 0 são iguais ( 1 = 1), a função f(x) é derivável em x=0.

Passo 3

Agora, vamos verificar se f(x) é derivável em x=1. Novamente, calculamos a derivada à esquerda e à direita de 1.
  • À esquerda de 1 ( 0 < x < 1): A derivada é f'(x) = 1 - 2x. Avaliando em x=1, temos f'(1) = 1 - 2(1) = -1.
  • À direita de 1 ( x >= 1): A função é f(x) = 1 - 2x. A derivada dessa parte é f'(x) = -2.
Aqui, as derivadas à esquerda e à direita de 1 são diferentes ( -1 neq -2). Portanto, a função f(x) não é derivável em x=1.

Resposta

A função f(x) é derivável em x=0, mas não é derivável em x=1.

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