Seja
é derivável em
? E em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de três jeitos diferentes dependendo do valor de
. O exercício quer saber se essa função é derivável nos pontos
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como verificar se a função é suave (derivável) nesses pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é derivável em
. Para isso, precisamos calcular a derivada da função à esquerda de
e à direita de
e ver se elas são iguais.
-
À esquerda de 0 (
): A função é . A derivada de em relação a é . -
À direita de 0 (
): A função é . A derivada dessa parte é . Avaliando em , temos .
Como as derivadas à esquerda e à direita de
são iguais (
), a função
é derivável em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é derivável em
. Novamente, calculamos a derivada à esquerda e à direita de
.
-
À esquerda de 1 (
): A derivada é . Avaliando em , temos . -
À direita de 1 (
): A função é . A derivada dessa parte é .
Aqui, as derivadas à esquerda e à direita de
são diferentes (
). Portanto, a função
não é derivável em
.
Resposta
A função
é derivável em
, mas não é derivável em
.