Determinar o domínio, a imagem e o contradomínio da função:
f(x)=xx^2-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio, a imagem e o contradomínio da função
f(x)=xx^2-1
Aqui o conteúdo envolve ( 1) encontrar o domínio de uma função racional excluindo pontos que anulam o denominador e ( 2) determinar a imagem, i.e.\ o conjunto de valores y tais que a equação
y = xx^2-1
tenha solução em x.

Passo 2

Para achar o domínio basta exigir que o denominador seja diferente de zero. Logo, resolvemos
x^2-1 neq 0 Longrightarrow x^2neq 1 Longrightarrow xneq pm 1
Portanto
Domínio(f) = Rsetminus-1,1 í

Passo 3

Por definição usual de funções reais, tomamos o contradomínio natural como
Contradomínio(f)=R í

Passo 4

Para achar a imagem, colocamos y=f(x) e rearranjamos em função de x:
y = xx^2-1 Long<=ftrightarrow y,(x^2-1)=x Long<=ftrightarrow y,x^2-x - y = 0
Isso é uma equação quadrática em x:
y,x^2 - x - y = 0

Passo 5

O discriminante dessa quadrática é
De<a = (-1)^2 -4,(y),(-y) = 1 + 4y^2 > 0
para todo yinR. Assim, para cada y real existe pelo menos uma solução real x. Ainda verificamos que nenhuma dessas soluções coincide com x=pm1, pois substituir x=pm1 na equação leva a contradição. Logo, todo yinR é atingido por algum x do domínio.

Resposta

Domínio: Rsetminus-1,1
Contradomínio: R
Imagem: R

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