Determinar o domínio, a imagem e o contradomínio da função:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio, a imagem e o contradomínio da função
Aqui o conteúdo envolve (
) encontrar o domínio de uma função racional excluindo pontos que anulam o denominador e (
) determinar a imagem, i.e.\ o conjunto de valores
tais que a equação
tenha solução em
.
Passo 2
Para achar o domínio basta exigir que o denominador seja diferente de zero. Logo, resolvemos
Portanto
Passo 3
Por definição usual de funções reais, tomamos o contradomínio natural como
Passo 4
Para achar a imagem, colocamos
e rearranjamos em função de
:
Isso é uma equação quadrática em
:
Passo 5
O discriminante dessa quadrática é
para todo
. Assim, para cada
real existe pelo menos uma solução real
. Ainda verificamos que nenhuma dessas soluções coincide com
, pois substituir
na equação leva a contradição. Logo, todo
é atingido por algum
do domínio.
Resposta
Domínio:
Contradomínio:
Imagem:
Contradomínio:
Imagem: