Determinar o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{x+2}{2 x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f dada por
f(x)=\frac{x+2}{2x}.
Informações fornecidas: a expressão racional \dfrac{x+2}{2x}. Não há outras restrições explícitas no enunciado (por exemplo, raízes ou logaritmos). A pergunta é: para quais valores de x essa expressão está bem definida?

Passo 2

O que é domínio (em linguagem bem direta)? O domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido e produz um número real. Em operações algébricas básicas, os problemas que podem tornar a expressão “sem sentido” são, principalmente:
  • divisão por zero (não é permitida),
  • raiz de índice par de número negativo (não temos aqui),
  • logaritmo de número não positivo (não temos aqui).
    Como a nossa função é uma fração, o ponto crítico é a divisão por zero.

Passo 3

Identificamos o denominador da fração: o denominador é 2x. Para que a função esteja definida, precisamos que o denominador seja diferente de zero. Então impomos a condição
2x \neq 0.

Passo 4

Resolver a condição 2x\neq 0. Igualando a zero para ver quando a condição falha:
2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto, o único valor de x que faz o denominador zero é x=0. Conclusão: devemos excluir x=0 do domínio.

Passo 5

Uma verificação extra (útil na prova): podemos simplificar a expressão sem alterar o domínio (exceto quando havia fator comum que cancelasse um zero, o que não ocorre aqui):
\frac{x+2}{2x}=\frac{x}{2x}+\frac{2}{2x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{x}.
Essa forma deixa claro que ainda existe a parcela \dfrac{1}{x}, que não está definida em x=0. Logo, não há nenhum cancelamento que permita incluir x=0.

Passo 6

Portanto, considerando todos os reais exceto onde o denominador anula-se, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais diferentes de zero.

Resposta

\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0\}

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