Determinar o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{x}{2 x-1}

Passo 1

Enunciado: Determinar o domínio da função \displaystyle f(x)=\frac{x}{2 x-1}.
O que o enunciado pede: encontrar todos os valores de x para os quais a expressão de f(x) está bem definida (ou seja, para os quais faz sentido calcular o valor de f(x)).
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita como uma razão (fração): numerador \displaystyle x e denominador \displaystyle 2x-1.
  • A variável independente é \displaystyle x e estamos procurando valores reais de \displaystyle x que tornam a função definida.

Passo 2

Regra essencial (aula rápida): uma fração \displaystyle \frac{A}{B} só é definida quando o denominador \displaystyle B não for igual a zero. Dividir por zero é indefinido. Exemplo simples: \displaystyle \frac{1}{0} não faz sentido — por isso devemos exigir \displaystyle B\neq 0.

Passo 3

Aplique a regra ao denominador da função. No nosso caso o denominador é \displaystyle 2x-1. Portanto devemos ter:
2x-1 \neq 0.

Passo 4

Resolva a inequação \displaystyle 2x-1\neq 0 passo a passo:
2x-1\neq 0
adicione 1 aos dois lados:
2x \neq 1
divida por 2:
x \neq \frac{1}{2}.
Ou seja, o único valor proibido é \displaystyle x=\frac{1}{2}.

Passo 5

Conclusão e escrita do domínio: a função está definida para todos os números reais, exceto \displaystyle \frac{1}{2}. Podemos escrever isso de duas formas equivalentes: em notação de conjunto e em notação de intervalos. Em notação de conjunto:
\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}.
Em notação de intervalos:
\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2},\infty\right).

Passo 6

Comentário didático final (dica para prova): ao ver qualquer função racional (fração com polinômios), o passo automático é achar zeros do denominador e excluí‑los do domínio. Faça isso sempre por escrito: iguale o denominador a zero, resolva a equação e exclua esses pontos. Respire — essa é uma das coisas mais simples da prova e você já a fez aqui. Força aí!

Resposta

\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{1}{2}\right\}
\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2},\infty\right)

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