Determinar o domínio das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\frac{2 x-1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{2x-1}{x}}.
Informações dadas:
\text{a função é }f(x)=\sqrt{\frac{2x-1}{x}}.çãé
Pergunta explícita: para quais valores de x a expressão acima está bem definida (ou seja, toma valor real)?

Passo 2

Condições necessárias para f(x) ser bem definida (explicação didática):
  1. O radicando da raiz quadrada precisa ser não negativo, porque a raíz quadrada real só aceita números maiores ou iguais a zero. Em símbolos:
\frac{2x-1}{x}\ge 0.
Expliquei: aqui \frac{2x-1}{x} é o radicando; exigimos que ele seja \ge 0.
2. O denominador não pode ser zero (divisão por zero é proibida). Em símbolos:
x\neq 0.
Portanto precisamos resolver simultaneamente
\frac{2x-1}{x}\ge 0\quad\text{e}\quad x\neq 0.

Passo 3

Identificamos os pontos críticos da desigualdade \frac{2x-1}{x}\ge 0. São os valores que anulam o numerador ou o denominador:
2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}, \qquad x=0\\ (\text{denominador}).
Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,0), (0,\tfrac{1}{2}) e (\tfrac{1}{2},\infty). Vamos analisar o sinal da fração em cada um.

Passo 4

Análise de sinais (método do quadro/valores de teste). Para a fração \dfrac{2x-1}{x} olhamos o sinal do numerador 2x-1 e do denominador x:
  • Para x<0 (escolho x=-1 como teste):
    2x-1=2(-1)-1=-3<0,\qquad x=-1<0.
    Numerador negativo, denominador negativo \Rightarrow quociente positivo. Logo \dfrac{2x-1}{x}>0 em (-\infty,0). Esses x satisfazem a desigualdade (mas lembrar que x\neq0 — já fora do intervalo).
  • Para 0<x<\tfrac{1}{2} (escolho x=\tfrac{1}{4} como teste):
    2x-1=2\cdot\tfrac{1}{4}-1=\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}<0,\qquad x=\tfrac{1}{4}>0.
    Numerador negativo, denominador positivo \Rightarrow quociente negativo. Logo \dfrac{2x-1}{x}<0 em (0,\tfrac{1}{2}). Esses x não satisfazem a desigualdade.
  • Para x>\tfrac{1}{2} (escolho x=1 como teste):
    2x-1=2\cdot1-1=1>0,\qquad x=1>0.
    Numerador positivo, denominador positivo \Rightarrow quociente positivo. Logo \dfrac{2x-1}{x}>0 em (\tfrac{1}{2},\infty). Esses x satisfazem a desigualdade.
Além disso, no ponto x=\tfrac{1}{2} o numerador é zero e o denominador é \tfrac{1}{2}\neq0, então
\frac{2(\tfrac{1}{2})-1}{\tfrac{1}{2}}=0,
e como permitimos \ge 0, x=\tfrac{1}{2} também é aceito (a raiz de 0 é 0).

Passo 5

Reunindo os resultados:
  • Intervalo (-\infty,0): \dfrac{2x-1}{x}>0 — aceito.
  • x=0: proibido (denominador zero) — excluído.
  • Intervalo (0,\tfrac{1}{2}): \dfrac{2x-1}{x}<0 — rejeitado.
  • x=\tfrac{1}{2}: \dfrac{2x-1}{x}=0 — aceito.
  • Intervalo (\tfrac{1}{2},\infty): \dfrac{2x-1}{x}>0 — aceito.
Portanto o domínio é a união dos intervalos onde a fração é não negativa, excluindo 0:
(-\infty,0)\cup\left[\tfrac{1}{2},\infty\right).

Passo 6

Pequena checagem com exemplos para fixar (apenas para você se sentir seguro):
f(-1)=\sqrt{\frac{2(-1)-1}{-1}}=\sqrt{\frac{-3}{-1}}=\sqrt{3}\quad\text{(ok)},
f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\sqrt{\frac{2\cdot\tfrac{1}{4}-1}{\tfrac{1}{4}}}=\sqrt{\frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}}}=\sqrt{-2}\quad\text{(não real, por isso }\tfrac{1}{4}\text{ fica fora)}.ã
Esses exemplos confirmam a análise anterior.

Resposta

(-\infty,0)\cup\left[\tfrac{1}{2},\infty\right)

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