Determinar o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações dadas:
Pergunta explícita: para quais valores de
a expressão acima está bem definida (ou seja, toma valor real)?
Passo 2
Condições necessárias para
ser bem definida (explicação didática):
- O radicando da raiz quadrada precisa ser não negativo, porque a raíz quadrada real só aceita números maiores ou iguais a zero. Em símbolos:
Expliquei: aqui
é o radicando; exigimos que ele seja
.
2. O denominador não pode ser zero (divisão por zero é proibida). Em símbolos:
2. O denominador não pode ser zero (divisão por zero é proibida). Em símbolos:
Portanto precisamos resolver simultaneamente
Passo 3
Identificamos os pontos críticos da desigualdade
. São os valores que anulam o numerador ou o denominador:
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
,
e
. Vamos analisar o sinal da fração em cada um.
Passo 4
Análise de sinais (método do quadro/valores de teste). Para a fração
olhamos o sinal do numerador
e do denominador
:
-
Para
(escolho como teste): Numerador negativo, denominador negativoquociente positivo. Logo em . Esses satisfazem a desigualdade (mas lembrar que — já fora do intervalo). -
Para
(escolho como teste): Numerador negativo, denominador positivoquociente negativo. Logo em . Esses não satisfazem a desigualdade. -
Para
(escolho como teste): Numerador positivo, denominador positivoquociente positivo. Logo em . Esses satisfazem a desigualdade.
Além disso, no ponto
o numerador é zero e o denominador é
, então
e como permitimos
,
também é aceito (a raiz de
é
).
Passo 5
Reunindo os resultados:
- Intervalo
: — aceito. -
: proibido (denominador zero) — excluído. - Intervalo
: — rejeitado. -
: — aceito. - Intervalo
: — aceito.
Portanto o domínio é a união dos intervalos onde a fração é não negativa, excluindo
:
Passo 6
Pequena checagem com exemplos para fixar (apenas para você se sentir seguro):
Esses exemplos confirmam a análise anterior.