Usando a redução de ordem encontre uma segunda solução num intervalo apropriado para as seguintes equaçõ diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede: usando a técnica de redução de ordem, encontrar uma segunda solução de uma equação diferencial de segunda ordem num intervalo apropriado. A equação que vamos usar (estou assumindo que o termo à direita é zero, ou seja que a equação é homogênea — veja que a expressão dada permite esta interpretação) é
Informações relevantes que já temos e que vou usar:
- A equação escrita acima é a equação diferencial homogênea de segunda ordem que vamos resolver.
- Observação importante (que podemos verificar):
é uma solução desta equação (vou usar essa solução conhecida para aplicar a redução de ordem). - Como aparecem divisões por
e por durante o processo, o intervalo apropriado deve evitar os pontos e . Vou escolher um intervalo típico onde ambos têm sinal definido, por exemplo .
Passo 2
Transformar a equação para a forma padrão (coeficiente de
igual a 1), porque é mais simples aplicar a técnica nessa forma. Dividindo a equação por
(válido para
) obtemos
Aqui definimos os coeficientes usuais da forma padrão:
Explico: a forma padrão é
. Colocamos assim para identificar
e
e aplicar as fórmulas da redução de ordem.
Passo 3
Relembrando a ideia da redução de ordem (aula rápida): quando sabemos uma solução não-nula
de uma equação linear homogênea de segunda ordem, podemos procurar a segunda solução na forma
onde
é uma função a determinar. A razão é que isso transforma a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para
(ou para
). Vou aplicar isso com
.
Passo 4
Calcular as derivadas de
. Usando diferenciação elemental:
Explico: derivatei
usando a regra do produto; na segunda derivada apliquei novamente a regra do produto e somei termos semelhantes.
Passo 5
Substituir
na equação original
. Fazendo a substituição:
Agora desenvolvo os produtos e simplifico passo a passo:
Note que os termos
e
se cancelam, sobrando
Simplifico o coeficiente de
:
Portanto a equação reduzida é
Passo 6
Reduzir a ordem definindo
. Assim
e a equação passa a ser uma equação linear de primeira ordem em
:
Esta é uma equação do tipo
após dividir por
(válido quando
e
). Faço isso:
Explico: passar para esta forma é útil porque agora podemos separar variáveis ou integrar diretamente para obter
.
Passo 7
Resolver a equação de primeira ordem para
. Escrevo a equação em forma separável/logaritmica:
Integro ambos os lados. Antes de integrar, simplifico a fração com divisão e frações parciais. Faço a divisão:
Agora decomponho
em frações parciais:
pois isso satisfaz
. Portanto
Então a equação para
fica
Integrando:
Calculo explícito das integrais:
Passo 8
Exponencio para obter
. A partir da expressão anterior:
Logo
Em um intervalo apropriado onde
e
têm sinal fixo (por exemplo
), podemos remover os valores absolutos e escolher a constante
. Tomando
e absorvendo sinais em
, temos convenientemente
Para encontrar uma solução fundamental podemos escolher
(qualquer constante não-nula apenas escala a função
e, no fim, dará combinação linear com
). Assim tomo
Passo 9
Integrar
para obter
. Observação esperta (muito útil em provas): reconhecer derivadas óbvias. Note que
Portanto
Assim
Integrando,
Explico: a constante
aparece da integração e, como veremos, o termo
vai gerar uma combinação linear com a solução conhecida
.
Passo 10
Construir
. Lembremos que
. Então
Como
é simplesmente um múltiplo da solução conhecida
, a parte nova e linearmente independente é
Podemos multiplicar por
sem perder a independência, logo uma escolha simples e canônica para a segunda solução independente é
Verificação rápida (para ficar seguro): calcule
,
e substitua na equação original:
confirma que
satisfaz a equação.
Passo 11
Conclusão sobre o intervalo: durante o processo dividimos por
e por
, portanto a solução
é válida e independente de
em qualquer intervalo que não contenha
nem
. Exemplos de intervalos apropriados:
,
ou
. Vou escolher como intervalo exemplificativo
.