Determinar o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{3}}+\frac{2 x}{\sqrt{x-4}}

Passo 1

O que o problema pede: determinar o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^{3}}+\frac{2 x}{\sqrt{x-4}}.
Informações dadas e objetos que importam para o domínio:
\text{radicandos: }x-1\text{ (no numerador) e }x-4\text{ (no denominador);}
\text{denominadores: }x^{3}\text{ e }\sqrt{x-4}.

Passo 2

Condição vinda do termo \dfrac{\sqrt{x-1}}{x^{3}} — existência da raiz quadrada no numerador:
Regra: a raiz quadrada real \sqrt{A} está definida apenas se A\ge 0. Aqui A=x-1. Portanto exigimos
x-1\ge 0.
Resolvendo,
x\ge 1.
Observação: o fato de \sqrt{x-1} poder ser zero não causa problema, pois está no numerador.

Passo 3

Condição vinda do mesmo termo — denominador x^{3} não pode ser zero:
Regra: divisão por zero não é permitida, então precisamos
x^{3}\neq 0.
Isto é equivalente a
x\neq 0.
Como da Passo 2 já temos x\ge 1, o valor x=0 já está automaticamente excluído. Logo, até agora a condição é x\ge 1.

Passo 4

Condição vinda do termo \dfrac{2x}{\sqrt{x-4}} — existência da raiz e denominador:
Duas exigências:
  1. o radicando deve ser não negativo: x-4\ge 0, para que a raiz exista;
  2. além disso, como a raiz está no denominador, não podemos ter \sqrt{x-4}=0 (divisão por zero). Portanto precisamos de x-4>0.
Resolvendo x-4>0,
x>4.

Passo 5

Interseção das condições obtidas:
Da Passo 2/3 temos x\ge 1. Da Passo 4 temos x>4. O domínio é a interseção desses conjuntos:
[1,\infty)\cap (4,\infty)=(4,\infty).
Verificação rápida dos pontos limites: x=4 não pode porque \sqrt{4-4}=0 aparece no denominador; valores maiores que 4 satisfazem todas as condições.

Resposta

(4,\infty)

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