Determinar o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função está expressa como soma de duas frações racionais.
- Os denominadores são
e . - Queremos todos os valores reais de
para os quais está bem definida (ou seja, a expressão não envolve divisão por zero).
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): para funções que envolvem frações, a única restrição típica ao domínio é evitar que algum denominador seja zero, porque divisão por zero não é definida nos reais. Assim, precisamos garantir simultaneamente que
e
Vou analisar cada uma dessas condições com calma.
Passo 3
Analisando o primeiro denominador
:
Colocamos
para encontrar possíveis pontos proibidos:
Portanto a condição de não zerar o denominador é
Explicação didática: sempre que tivermos uma expressão
, o valor
faz o denominador virar zero, o que não é permitido. Então
deve ser excluído do domínio.
Passo 4
Analisando o segundo denominador
:
Colocamos
para ver se existe algum
real que zere esse denominador:
Agora, observe que para todo número real
temos
. Logo
não tem solução real, porque o lado direito é negativo. Outra forma de ver isso (fórmula conhecida): o discriminante da equação quadrática
é
portanto não há raízes reais. Conclusão:
Didática: quadrados são não-negativos, e somando
fica sempre pelo menos
; por isso esse denominador nunca zera no conjunto dos reais.
Passo 5
Juntando as duas condições: a única restrição ao domínio vem de
. Não há nenhuma outra exclusão, porque
nunca é zero para
real. Portanto o domínio é todos os reais exceto
.