Determinar o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{x+1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f dada por
f(x)=\frac{x+1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}+9}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está expressa como soma de duas frações racionais.
  • Os denominadores são x-1 e x^{2}+9.
  • Queremos todos os valores reais de x para os quais f(x) está bem definida (ou seja, a expressão não envolve divisão por zero).

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): para funções que envolvem frações, a única restrição típica ao domínio é evitar que algum denominador seja zero, porque divisão por zero não é definida nos reais. Assim, precisamos garantir simultaneamente que
x-1 \neq 0
e
x^{2}+9 \neq 0.
Vou analisar cada uma dessas condições com calma.

Passo 3

Analisando o primeiro denominador x-1:
Colocamos x-1=0 para encontrar possíveis pontos proibidos:
x-1=0 \implies x=1.
Portanto a condição de não zerar o denominador é
x\neq 1.
Explicação didática: sempre que tivermos uma expressão \dfrac{\text{algo}}{x-1}, o valor x=1 faz o denominador virar zero, o que não é permitido. Então 1 deve ser excluído do domínio.

Passo 4

Analisando o segundo denominador x^{2}+9:
Colocamos x^{2}+9=0 para ver se existe algum x real que zere esse denominador:
x^{2}+9=0 \implies x^{2}=-9.
Agora, observe que para todo número real x temos x^{2}\ge 0. Logo x^{2}=-9 não tem solução real, porque o lado direito é negativo. Outra forma de ver isso (fórmula conhecida): o discriminante da equação quadrática x^{2}+9=0 é
\Delta = 0^{2}-4\cdot1\cdot9 = -36 < 0,
portanto não há raízes reais. Conclusão:
x^{2}+9\neq 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Didática: quadrados são não-negativos, e somando 9 fica sempre pelo menos 9; por isso esse denominador nunca zera no conjunto dos reais.

Passo 5

Juntando as duas condições: a única restrição ao domínio vem de x\neq 1. Não há nenhuma outra exclusão, porque x^{2}+9 nunca é zero para x real. Portanto o domínio é todos os reais exceto 1.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{1\}=(-\infty,1)\cup(1,\infty)

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