Determinar o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado: a função é
.
O que se pede: determinar o domínio da função (ou seja, o conjunto de valores de para os quais a expressão está definida).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: aparecem duas frações com denominadores e
. Essas expressões não podem ter denominador igual a zero.
O que se pede: determinar o domínio da função (ou seja, o conjunto de valores de
Informações relevantes dadas pelo enunciado: aparecem duas frações com denominadores
Passo 2
O que é domínio (rapidamente, como revisão): o domínio de uma função é o conjunto de todos os números reais
para os quais a expressão que define a função faz sentido numérico. Para expressões racionais (frações), o único problema típico é divisão por zero: não podemos aceitar valores de
que anulem qualquer denominador presente na expressão original.
Passo 3
Vamos identificar os denominadores presentes explicitamente na expressão original: o primeiro termo tem denominador
e o segundo termo tem denominador
. Logo, precisamos exigir que nenhum desses denominadores seja zero. Escrevendo as condições:
Passo 4
Resolver cada condição para obter os valores proibidos:
Da condição já temos o valor excluído
.
Da condição obtemos
Da condição
Da condição
Portanto, pelos denominadores originais,
não pode ser
nem
.
Passo 5
(Faça sempre esta verificação por segurança) Podemos somar as frações e escrever
como uma única fração para ver se aparece alguma simplificação que esconda alguma informação. O denominador comum é
. Calculando o numerador:
Passo 6
Agora veja se há cancelamento de fatores entre numerador e denominador (se cancelássemos um fator, poderia haver um ponto removível, mas atenção: mesmo que ocorresse, o ponto continuaria excluído do domínio porque a expressão original tem divisão por zero ali). Verificamos se
tem raízes reais (que seriam possíveis fatores lineares
ou
). O discriminante é
Como
, o polinômio
não tem raízes reais, logo não é divisível por
nem por
. Não há cancelamento possível e, portanto, os únicos valores proibidos continuam sendo
e
.
Passo 7
Conclusão: o domínio é o conjunto dos números reais excluindo
e
. Em notação de conjunto e em notação de intervalos, temos as formas equivalentes abaixo. Força aí nos estudos — essa parte é só cuidado com denominadores; você já sabe resolver esse tipo de questão!