Determinar o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{x}+\frac{x}{x+3}

Passo 1

Enunciado: a função é f(x)=\frac{1}{x}+\frac{x}{x+3}.
O que se pede: determinar o domínio da função (ou seja, o conjunto de valores de x para os quais a expressão está definida).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: aparecem duas frações com denominadores x e x+3. Essas expressões não podem ter denominador igual a zero.

Passo 2

O que é domínio (rapidamente, como revisão): o domínio de uma função é o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão que define a função faz sentido numérico. Para expressões racionais (frações), o único problema típico é divisão por zero: não podemos aceitar valores de x que anulem qualquer denominador presente na expressão original.

Passo 3

Vamos identificar os denominadores presentes explicitamente na expressão original: o primeiro termo tem denominador x e o segundo termo tem denominador x+3. Logo, precisamos exigir que nenhum desses denominadores seja zero. Escrevendo as condições:
x \neq 0
x+3 \neq 0

Passo 4

Resolver cada condição para obter os valores proibidos:
Da condição x \neq 0 já temos o valor excluído x=0.
Da condição x+3 \neq 0 obtemos
x \neq -3.
Portanto, pelos denominadores originais, x não pode ser 0 nem -3.

Passo 5

(Faça sempre esta verificação por segurança) Podemos somar as frações e escrever f(x) como uma única fração para ver se aparece alguma simplificação que esconda alguma informação. O denominador comum é x(x+3). Calculando o numerador:
\frac{1}{x}+\frac{x}{x+3}=\frac{x+3}{x(x+3)}+\frac{x^2}{x(x+3)}=\frac{x^2+x+3}{x(x+3)}.

Passo 6

Agora veja se há cancelamento de fatores entre numerador e denominador (se cancelássemos um fator, poderia haver um ponto removível, mas atenção: mesmo que ocorresse, o ponto continuaria excluído do domínio porque a expressão original tem divisão por zero ali). Verificamos se x^2+x+3 tem raízes reais (que seriam possíveis fatores lineares x ou x+3). O discriminante é
\Delta = 1-4\cdot1\cdot3 = 1-12 = -11.
Como \Delta<0, o polinômio x^2+x+3 não tem raízes reais, logo não é divisível por x nem por x+3. Não há cancelamento possível e, portanto, os únicos valores proibidos continuam sendo x=0 e x=-3.

Passo 7

Conclusão: o domínio é o conjunto dos números reais excluindo 0 e -3. Em notação de conjunto e em notação de intervalos, temos as formas equivalentes abaixo. Força aí nos estudos — essa parte é só cuidado com denominadores; você já sabe resolver esse tipo de questão!

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{0,-3\}
(-\infty,-3)\cup(-3,0)\cup(0,\infty)

Exercícios relacionados