Determinar o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função é a diferença de duas expressões: uma raiz cúbica
e uma raiz quadrada . - Não há outras restrições explícitas (por exemplo, frações que possam anular denominador, logaritmos, etc.). A restrição vem dos tipos de raízes que aparecem.
Passo 2
Entender a restrição imposta pela raiz cúbica
.
A regra importante: uma raiz de índice ímpar (como
) aceita qualquer radicando real — não há restrição de sinal. Ou seja,
está definida para todo
. Exemplo rápido para fixar:
.
Aplicando isso ao nosso caso: o radicando é
. Como a raiz é de índice
, não impõe restrição sobre
. Portanto o conjunto de
permitidos por essa parcela é
Passo 3
Entender a restrição imposta pela raiz quadrada
.
A regra aqui: para uma raiz de índice par (aqui
), o radicando deve ser não negativo (maior ou igual a zero), porque a raiz quadrada real não está definida para números negativos. Então exigimos
Agora resolvemos essa desigualdade: subtraindo
dos dois lados,
Portanto o conjunto de
permitidos por essa parcela é
Passo 4
Combinar as restrições: a função só é definida quando ambas as parcelas existem ao mesmo tempo. Em termos de conjuntos, o domínio da função é a interseção dos domínios de cada parcela.
Interseção:
Logo, por agora, o candidato a domínio é
.
Passo 5
Verificação no extremo (
) para garantir que o ponto seja realmente permitido.
Calcule a função em
:
Como a expressão é calculável e finita em
, o ponto pertence ao domínio. E para
ambas as parcelas também estão definidas. Portanto a interseção anterior está correta.
Passo 6
Resumo prático (dica de prova): analise cada operação que impõe domínio (raízes de índice par, logaritmos, denominadores nulos etc.), obtenha as restrições separadas e faça a interseção. Aqui a única restrição veio da raiz quadrada.