Determinar o domínio das seguintes funções:
y=\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+8}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
y=\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+8}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é a diferença de duas expressões: uma raiz cúbica \sqrt[3]{x+7} e uma raiz quadrada \sqrt{x+8}.
  • Não há outras restrições explícitas (por exemplo, frações que possam anular denominador, logaritmos, etc.). A restrição vem dos tipos de raízes que aparecem.

Passo 2

Entender a restrição imposta pela raiz cúbica \sqrt[3]{x+7}.
A regra importante: uma raiz de índice ímpar (como 3) aceita qualquer radicando real — não há restrição de sinal. Ou seja, \sqrt[3]{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}. Exemplo rápido para fixar: \sqrt[3]{-27}=-3.
Aplicando isso ao nosso caso: o radicando é x+7. Como a raiz é de índice 3, não impõe restrição sobre x. Portanto o conjunto de x permitidos por essa parcela é
(-\infty,\infty).

Passo 3

Entender a restrição imposta pela raiz quadrada \sqrt{x+8}.
A regra aqui: para uma raiz de índice par (aqui 2), o radicando deve ser não negativo (maior ou igual a zero), porque a raiz quadrada real não está definida para números negativos. Então exigimos
x+8 \ge 0.
Agora resolvemos essa desigualdade: subtraindo 8 dos dois lados,
x \ge -8.
Portanto o conjunto de x permitidos por essa parcela é
[-8,\infty).

Passo 4

Combinar as restrições: a função só é definida quando ambas as parcelas existem ao mesmo tempo. Em termos de conjuntos, o domínio da função é a interseção dos domínios de cada parcela.
Interseção:
(-\infty,\infty)\cap[-8,\infty)=[-8,\infty).
Logo, por agora, o candidato a domínio é [-8,\infty).

Passo 5

Verificação no extremo ( x=-8) para garantir que o ponto seja realmente permitido.
Calcule a função em x=-8:
\sqrt[3]{-8+7}-\sqrt{-8+8}=\sqrt[3]{-1}-\sqrt{0}=-1-0=-1.
Como a expressão é calculável e finita em x=-8, o ponto pertence ao domínio. E para x>-8 ambas as parcelas também estão definidas. Portanto a interseção anterior está correta.

Passo 6

Resumo prático (dica de prova): analise cada operação que impõe domínio (raízes de índice par, logaritmos, denominadores nulos etc.), obtenha as restrições separadas e faça a interseção. Aqui a única restrição veio da raiz quadrada.

Resposta

\mathrm{Dom}\,y=[-8,\infty)

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