Determinar o domínio das seguintes funções:
y=\sqrt{3+x}+\sqrt{7-x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função y=\sqrt{3+x}+\sqrt{7-x}.
Informações dadas:
\sqrt{3+x} e \sqrt{7-x} são raízes quadradas (funções radiciaIs) com radicandos 3+x e 7-x, respectivamente.
O que precisamos encontrar: o conjunto de todos os valores de x em \mathbb{R} para os quais a expressão está bem definida (ou seja, as duas raízes são números reais).

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): para uma raiz quadrada real \sqrt{A} existir (ser um número real), o radicando A deve ser não negativo. Em símbolos:
A \ge 0.
Aqui temos duas raízes, então precisamos garantir simultaneamente que ambos os radicandos são não negativos:
3+x \ge 0 \quad\text{e}\quad 7-x \ge 0.

Passo 3

Resolver a primeira desigualdade 3+x \ge 0.
Isolando x:
3+x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -3.
Interpretação: qualquer x maior ou igual a -3 faz com que \sqrt{3+x} seja um número real.

Passo 4

Resolver a segunda desigualdade 7-x \ge 0.
Isolando x:
7-x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -x \ge -7 \quad\Longrightarrow\quad x \le 7.
(Observação didática: multipliquei por -1 e por isso invertemos o sinal da desigualdade.)
Interpretação: qualquer x menor ou igual a 7 faz com que \sqrt{7-x} seja um número real.

Passo 5

Combinar as duas condições (interseção dos conjuntos de solução).
Temos:
x \ge -3 \quad\text{e}\quad x \le 7.
A interseção é
-3 \le x \le 7.
Em notação de conjunto:
\{x\in\mathbb{R}\mid -3 \le x \le 7\}
ou em intervalo:
[-3,7].

Passo 6

Checagem rápida (para ganhar confiança): testar pontos extremos e fora do intervalo.
  • Em x=-3: \sqrt{3+(-3)}+\sqrt{7-(-3)}=\sqrt{0}+\sqrt{10}=0+\sqrt{10} (ok).
  • Em x=7: \sqrt{3+7}+\sqrt{7-7}=\sqrt{10}+\sqrt{0}=\sqrt{10} (ok).
  • Em x=-4: \sqrt{3+(-4)}=\sqrt{-1} (não real), logo x=-4 não pertence ao domínio.
Tudo consistente com a interseção encontrada.

Resposta

\;[-3,7]

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