Sejam duas curvas polares r=3+2 \sin (\theta) e r=2+\sin (\theta). Qual é a integral que representa a área da região que está dentro da curva r=3+2 \sin (\theta) e fora da curva r=2+\sin (\theta) ?

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares:
r = 3 + 2\sin\theta
e
r = 2 + \sin\theta
e pede: qual é a integral que representa a área da região que está dentro da primeira curva r=3+2\sin\theta e fora da segunda r=2+\sin\theta.
Informações relevantes fornecidas: as expressões das duas curvas em função de \theta e que a região desejada é a parte do plano cujo ponto polar satisfaz estar entre as duas curvas radiais.

Passo 2

Vamos entender como se calcula área em coordenadas polares por pequenos passos: considere um pequeno ângulo \Delta\theta. O setor circular de raio r e amplitude \Delta\theta tem área aproximada
\Delta A \approx \frac{1}{2} r^2 \Delta\theta.
Explicação didática: a área de um círculo completo de raio r é \pi r^2. Um setor com ângulo \Delta\theta (em radianos) representa fração \Delta\theta/(2\pi) desse círculo, logo sua área é \pi r^2\cdot\frac{\Delta\theta}{2\pi}=\tfrac12 r^2\Delta\theta. Ao levar \Delta\theta a zero e somar (integrar) sobre \theta obtemos a área contínua.

Passo 3

Para a área entre duas curvas radiais, em cada \theta tomamos a diferença entre a área do setor externo e a do setor interno. Assim a fórmula geral é
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\bigl(r_{\text{externo}}(\theta)^2-r_{\text{interno}}(\theta)^2\bigr)\,d\theta,
onde \alpha e \beta são os limites angulares que descrevem a região, r_{\text{externo}}(\theta) é o raio maior para cada \theta e r_{\text{interno}}(\theta) o raio menor.

Passo 4

Precisamos identificar, para cada \theta, qual das duas curvas é a externa (maior r). Calculamos a diferença:
(3+2\sin\theta)-(2+\sin\theta)=1+\sin\theta.
Como \sin\theta\ge-1 para todo \theta, tem-se 1+\sin\theta\ge 0 sempre, com igualdade somente quando \sin\theta=-1. Logo 3+2\sin\theta\ge 2+\sin\theta para todo \theta, e a igualdade ocorre quando
\sin\theta=-1\quad\Rightarrow\quad \theta=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z}).
Conclusão: a curva r=3+2\sin\theta é a curva externa para todos os \theta (igualando-se à outra apenas em ângulos isolados).

Passo 5

Escolha dos limites angulares \alpha e \beta: como ambas as funções são contínuas em [0,2\pi] e dão valores de r positivos (mínimos: 3+2\sin\theta\ge 1 e 2+\sin\theta\ge 1), a região entre elas é percorrida uma vez ao varrer \theta de 0 até 2\pi. Portanto podemos tomar \alpha=0 e \beta=2\pi. Obs.: poderíamos também usar outro intervalo de comprimento 2\pi, por exemplo [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}], mas [0,2\pi] é o mais comum.

Passo 6

Aplicando a fórmula do Passo 3 com r_{\text{externo}}(\theta)=3+2\sin\theta, r_{\text{interno}}(\theta)=2+\sin\theta e \alpha=0,\\ \beta=2\pi, obtemos a integral que representa a área:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\Bigl[(3+2\sin\theta)^2-(2+\sin\theta)^2\Bigr]\,d\theta.
(se desejar, pode-se expandir o integrando: (3+2\sin\theta)^2-(2+\sin\theta)^2=5+8\sin\theta+3\sin^2\theta, e então integrar usando \sin^2\theta=\tfrac{1-\cos(2\theta)}{2}; ao calcular a integral inteira obtém-se a área numérica A=\tfrac{13\pi}{2}, mas a pergunta pedia a integral que representa a área.)

Resposta

A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\Bigl[(3+2\sin\theta)^2-(2+\sin\theta)^2\Bigr]\,d\theta

Exercícios relacionados