Sejam duas curvas polares
e
. Qual é a integral que representa a área da região que está dentro da curva
e fora da curva
?
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares:
e
e pede: qual é a integral que representa a área da região que está dentro da primeira curva
e fora da segunda
.
Informações relevantes fornecidas: as expressões das duas curvas em função de e que a região desejada é a parte do plano cujo ponto polar satisfaz estar entre as duas curvas radiais.
Informações relevantes fornecidas: as expressões das duas curvas em função de
Passo 2
Vamos entender como se calcula área em coordenadas polares por pequenos passos: considere um pequeno ângulo
. O setor circular de raio
e amplitude
tem área aproximada
Explicação didática: a área de um círculo completo de raio
é
. Um setor com ângulo
(em radianos) representa fração
desse círculo, logo sua área é
. Ao levar
a zero e somar (integrar) sobre
obtemos a área contínua.
Passo 3
Para a área entre duas curvas radiais, em cada
tomamos a diferença entre a área do setor externo e a do setor interno. Assim a fórmula geral é
onde
e
são os limites angulares que descrevem a região,
é o raio maior para cada
e
o raio menor.
Passo 4
Precisamos identificar, para cada
, qual das duas curvas é a externa (maior
). Calculamos a diferença:
Como
para todo
, tem-se
sempre, com igualdade somente quando
. Logo
para todo
, e a igualdade ocorre quando
Conclusão: a curva
é a curva externa para todos os
(igualando-se à outra apenas em ângulos isolados).
Passo 5
Escolha dos limites angulares
e
: como ambas as funções são contínuas em
e dão valores de
positivos (mínimos:
e
), a região entre elas é percorrida uma vez ao varrer
de
até
. Portanto podemos tomar
e
. Obs.: poderíamos também usar outro intervalo de comprimento
, por exemplo
, mas
é o mais comum.
Passo 6
Aplicando a fórmula do Passo 3 com
,
e
, obtemos a integral que representa a área:
(se desejar, pode-se expandir o integrando:
, e então integrar usando
; ao calcular a integral inteira obtém-se a área numérica
, mas a pergunta pedia a integral que representa a área.)