Determinar os elementos das cônicas abaixo:
Da hipérbole dada pela equação
(centro, vértices e focos)
Da hipérbole dada pela equação
Passo 1
O enunciado pede para analisar a cônica dada por
que, pela presença de
com coeficiente positivo e
com coeficiente negativo, é uma hipérbole com eixo transverso horizontal. Para encontrar centro, vértices e focos, vamos transformar essa equação na forma padrão
fazendo o método de completar quadrados.
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
e isolamos o termo constante:
Agora completamos quadrado em cada grupo:
- Para
, temos
- Para
, temos
Passo 3
Substituindo essas identidades de volta:
Distribuindo e somando constantes:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a forma padrão:
Dessa forma, o centro é
,
(logo
) e
(logo
), com eixo principal paralelo ao eixo
.
Passo 4
Os vértices estão a distância
do centro ao longo do eixo horizontal. Assim,
Logo, os vértices são
Passo 5
Para achar os focos usamos
logo
. Os focos também ficam ao longo do eixo horizontal, a distância
do centro:
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Vértices:
Focos: