Determinar os elementos das cônicas abaixo:
Da hipérbole dada pela equação
9 x^{2}-4 y^{2}+54 x+16 y+29=0
(centro, vértices e focos)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a cônica dada por
9x^{2} - 4y^{2} + 54x + 16y + 29 = 0
que, pela presença de x^{2} com coeficiente positivo e y^{2} com coeficiente negativo, é uma hipérbole com eixo transverso horizontal. Para encontrar centro, vértices e focos, vamos transformar essa equação na forma padrão
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1
fazendo o método de completar quadrados.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e isolamos o termo constante:
9\bigl(x^{2}+6x\bigr)\;-\;4\bigl(y^{2}-4y\bigr)\;+\;29 = 0.
Agora completamos quadrado em cada grupo:
  • Para x^{2}+6x, temos
x^{2}+6x = (x+3)^{2} - 9.
  • Para y^{2}-4y, temos
y^{2}-4y = (y-2)^{2} - 4.

Passo 3

Substituindo essas identidades de volta:
9\bigl((x+3)^{2} - 9\bigr)\;-\;4\bigl((y-2)^{2} - 4\bigr)\;+\;29 = 0.
Distribuindo e somando constantes:
9(x+3)^{2} -81 \;-\;4(y-2)^{2} +16 \;+\;29 = 0
9(x+3)^{2} -4(y-2)^{2} -36 = 0
9(x+3)^{2} -4(y-2)^{2} = 36.
Dividindo ambos os lados por 36, obtemos a forma padrão:
\frac{(x+3)^{2}}{4} \;-\;\frac{(y-2)^{2}}{9} = 1.
Dessa forma, o centro é (h,k)=(-3,2), a^{2}=4 (logo a=2) e b^{2}=9 (logo b=3), com eixo principal paralelo ao eixo x.

Passo 4

Os vértices estão a distância a do centro ao longo do eixo horizontal. Assim,
\bigl(-3\pm a,\;2\bigr) = \bigl(-3\pm 2,\;2\bigr).
Logo, os vértices são
(-1,2)\quad\text{e}\quad(-5,2).

Passo 5

Para achar os focos usamos
c^{2} = a^{2} + b^{2} = 4 + 9 = 13,
logo c = \sqrt{13}. Os focos também ficam ao longo do eixo horizontal, a distância c do centro:
\bigl(-3\pm \sqrt{13},\;2\bigr).

Resposta

Centro: (-3,2)
Vértices: (-1,2) e (-5,2)
Focos: \bigl(-3+\sqrt{13},2\bigr) e \bigl(-3-\sqrt{13},2\bigr)

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