Determinar os elementos das cônicas abaixo:
Da elipse dada pela equação
\frac{(x+1)^{2}}{16}+\frac{(y-3)^{2}}{4}=1
(centro, vértices e focos)

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{(x+1)^{2}}{16}+\frac{(y-3)^{2}}{4}=1
e pede o centro, os vértices e os focos. Aqui usamos a forma canônica
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1
para identificar (h,k), a, b e a orientação do eixo maior.

Passo 2

Comparando com a forma canônica vemos que (h,k)=(-1,3). Como a^{2}=16 e b^{2}=4 e 16>4, o semieixo maior vale a=4 na direção horizontal, e o semieixo menor vale b=2 na direção vertical.

Passo 3

Os vértices principais ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo horizontal, isto é,
(-1+4,\,3)=(3,3)
e
(-1-4,\,3)=(-5,3).
Os co-vértices, no eixo vertical, ficam a uma distância b do centro:
(-1,\,3+2)=(-1,5)
e
(-1,\,3-2)=(-1,1).

Passo 4

O valor de c para os focos é
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
(-1+2\sqrt{3},\,3) \quad\text{e}\quad (-1-2\sqrt{3},\,3).

Resposta

Centro: (-1,3)
Vértices principais: (3,3) e (-5,3)
Co-vértices: (-1,5) e (-1,1)
Focos: \bigl(-1+2\sqrt{3},\,3\bigr) e \bigl(-1-2\sqrt{3},\,3\bigr)

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