Determinar os elementos das cônicas abaixo:
Da parábola dada pela equação
x^{2}+6 y-12=0
(vértice, diretriz e foco)

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola de equação
x^{2} + 6y - 12 = 0
e pede o vértice, o foco e a diretriz. Vamos reconhecer que é uma parábola com eixo vertical e reescrevê-la na forma padrão

Passo 2

Isolamos y em função de x:
x^{2} + 6y - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6y = -\,x^{2} + 12 \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{x^{2}}{6} + 2.
Em seguida, colocamos em forma canônica
x^{2} = -6\,(y - 2),
que lembra o modelo
x^{2} = 4p\,(y - k).

Passo 3

Comparando
4p = -6 \quad\Longrightarrow\quad p = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2},
e o vértice (h,k) é o ponto que anula os termos em parênteses, ou seja
(h,k) = (0,2).

Passo 4

Como p<0, a parábola abre para baixo. O foco fica a uma distância \lvert p\rvert do vértice no sentido da concavidade, logo
\text{foco} = \bigl(h,\;k + p\bigr) = \bigl(0,\;2 - \tfrac{3}{2}\bigr) = \Bigl(0,\;\tfrac{1}{2}\Bigr).

Passo 5

A diretriz é a reta horizontal a uma distância \lvert p\rvert do vértice no sentido oposto ao foco, portanto
\text{diretriz}:\quad y = k - p = 2 - \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = \tfrac{7}{2}.

Resposta

vértice (0,2)
foco \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr)
diretriz y = \tfrac{7}{2}

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