Determinar a entropia de aquecimento de 298 K até 1000 K das seguintes substâncias:
  • \mathrm{SiO}_{2};

Passo 1

O enunciado pede: determinar a entropia de aquecimento de 298\\ \mathrm{K} até 1000\\ \mathrm{K} para a substância \mathrm{SiO}_{2}.
Informações dadas (explicitamente no enunciado):
  • Temperatura inicial T_{1}=298\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final T_{2}=1000\\ \mathrm{K}.
  • Substância: \mathrm{SiO}_{2}.
Não há no enunciado uma função C_{p}(T) fornecida, nem tabela. Vou então explicar o método geral e fazer uma aproximação razoável para C_{p}(T) que permita calcular \Delta S de forma simples e reproduzível na prova.

Passo 2

Fórmula geral e significado das grandezas (aula rápida e calma).
A variação de entropia ao aquecer reversivelmente uma substância de T_{1} para T_{2} à pressão constante é dada por
\Delta S=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{p}(T)}{T}\,dT.
Explicando cada símbolo:
  • \Delta S é a variação de entropia molar entre T_{1} e T_{2} (unidade usual \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • C_{p}(T) é a capacidade calorífica molar à pressão constante como função da temperatura (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • A integral soma as contribuições infinitesimais de calor reversível dividido por T ao longo do aquecimento.
Na prova, se te derem C_{p}(T) explícito, basta integrar. Se não, usa-se uma aproximação apropriada para C_{p}(T) (constante, linear, Shomate, ou tabela). Vou escolher uma aproximação simples e fundamentada que dá boa precisão sem tabela complicada.

Passo 3

Escolha da aproximação para C_{p}(T) e justificativa didática.
  • Para sólidos cristalinos, no limite de altas temperaturas comparadas à temperatura de Debye, a regra de Dulong–Petit vale aproximando C_{p} por 3nR, onde n é o número de átomos por unidade fórmula e R é a constante dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} ).
  • Para \mathrm{SiO}_{2} (cada fórmula tem n=3 átomos: 1 Si + 2 O), o limite Dulong–Petit é
C_{p,\infty}\approx 3nR=9R=9\cdot 8{,}314=74{,}83\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Valores experimentais mostram que em 298\\ \mathrm{K} o C_{p} da sílica (quartz/fused silica) fica em torno de 44\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Este valor é compatível com dados tabulados para formas comuns de \mathrm{SiO}_{2}.
  • Entre 298\\ \mathrm{K} e 1000\\ \mathrm{K} C_{p} aumenta de um valor próximo de 44 até se aproximar do valor de Dulong–Petit. Para não complicar com funções complexas, uso uma aproximação linear em T entre os dois pontos:
C_{p}(T)\approx a+bT,
com C_{p}(298)=44{,}0 e C_{p}(1000)=74{,}83. Esta aproximação é simples, integra-se analiticamente e dá resultado razoável para fins de prova quando não há tabela.
Obs.: esta é uma aproximação. Se em prova tiverem tabela ou parâmetros de Shomate, use-os; o procedimento (integrar C_{p}/T) é o mesmo.

Passo 4

Determinar os coeficientes a\) e \(b\) da aproximação linear. Temos os pontos: \[\begin{cases} a+b\cdot 298 = 44{,}0,\\[4pt] a+b\cdot 1000 = 74{,}83. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
b(1000-298)=74{,}83-44{,}0=30{,}83,
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b=\frac{30{,}83}{702}=0{,}043922\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-2}}\\ \text{(aprox.)}.
Agora (a=44{,}0-b\cdot 298], então
a=44{,}0-0{,}043922\cdot 298=44{,}0-13{,}084\approx 30{,}916\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.]

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \Delta S=\int_{298}^{1000}\frac{a+bT}{T}\,dT.
Integrando term a term:
\Delta S = \int_{298}^{1000}\left(\frac{a}{T}+b\right)\,dT = a\ln\!\left(\frac{1000}{298}\right)+b(1000-298).
Substituindo os valores numéricos:
  • Primeiro o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{1000}{298}\right)=\ln(3{,}3557047)\approx 1{,}210360.
  • Produto com a:
a\ln\!\left(\frac{1000}{298}\right)\approx 30{,}916\times 1{,}210360 \approx 37{,}44\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Termo linear:
b(1000-298)=0{,}043922\times 702 \approx 30{,}83\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Somando as duas contribuições:
\Delta S \approx 37{,}44+30{,}83=68{,}27\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
\Delta S \approx 68{,}3\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 6

Interpretação e comentário final (um empurrãozinho de ânimo).
  • O valor obtido \Delta S\approx 68{,}3\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} é uma estimativa baseada na aproximação linear de C_{p}(T) entre um valor experimental típico em 298\\ \mathrm{K} e o limite de Dulong–Petit em altas temperaturas.
  • Se em prova estiverem disponíveis dados mais precisos (tabelas, equações de Shomate, ou C_{p}(T) experimental ponto a ponto), o procedimento é o mesmo: integrar \int C_{p}(T)/T\,dT. Usar esses dados dará uma resposta mais precisa.
  • Psicologicamente: tu já viu o método principal (integral de C_{p}/T) e uma estratégia prática quando não há tabela — isso já resolve a maior parte das questões parecidas. Vai firme!

Resposta

\Delta S \approx 68{,}3\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

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