Determinar a equação da circunferência cujo raio é 5 e o centro é a interseção das retas
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar a equação da circunferência cuja razão e dados são os seguintes:\n
- raio igual a
.\n - centro é o ponto que é interseção das retas
e .\n
Informações relevantes fornecidas: as duas equações das retas e o valor do raio. A tarefa final é escrever a equação da circunferência (uma única equação que descreva todos os pontosa distância do centro).
Passo 2
Vamos achar o ponto de interseção das retas, ou seja, resolver o sistema linear formado por:
Primeiro, reescrevo cada equação de forma limpa:
Explicando o método que vou usar: vou eliminar
multiplicando as equações por fatores adequados para igualar os coeficientes de
, e em seguida subtrair uma equação da outra. Esse é o método de eliminação, bem prático na prova — você multiplica para alinhar um coeficiente e elimina somando/subtraindo.
Multiplico a primeira equação por
e a segunda por
para obter coeficiente comum
em
:
Passo 3
Agora subtraio a segunda equação da primeira para eliminar
:
No lado esquerdo os
se cancelam, restando:
Portanto
Dividindo por
obtemos
Ótimo — já temos a coordenada
do centro.
Passo 4
Com
, volto a uma das equações originais para encontrar
. Uso a equação
. Substituo
(sempre faça a substituição com cuidado para não escorregar):
Como
, isso dá
Subtraindo
de ambos os lados:
e dividindo por
:
Então o ponto de interseção (o centro da circunferência) é
.
Passo 5
Agora uma pequena aula-conceito sobre a equação da circunferência: a definição é que a circunferência de centro
e raio
é o conjunto dos pontos
cuja distância até
é
. Usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano,
e impondo que essa distância seja
, obtemos a fórmula padrão da circunferência:
onde
e
são as coordenadas do centro e
é o raio.
No nosso caso já encontramos
e
, e o enunciado deu
. Substituindo esses valores na fórmula
obtemos a equação buscada.