Calcule a integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
Informações relevantes fornecidas:
- A integração interna é em relação a
(o diferencial é ). - A integração externa é em relação a
(o diferencial é ), com variando de a . - O integrando é
, que depende apenas de , não de . - O limite superior da integração interna aparece como
no enunciado, mas a variável natural do enunciado externo é . Como a integral interna deve ter limites escritos em função da variável externa quando apropriado, adotarei a forma consistente onde o limite superior interno é . Ou seja, vou resolver
que é a interpretação bem-formulada e leva a uma resposta fechada. Esta é uma abordagem padrão quando o integrando não depende do variável de integração interna.
Passo 2
Observação importante sobre integração quando o integrando não depende da variável de integração interna: se uma função
não depende de
, então
porque estamos simplesmente somando
ao longo do intervalo de
de comprimento
. Exemplo simples:
.
Aplicando isso ao nosso caso, para cada
fixo a integral interna em
é
Expliquei isso passo a passo:
é constante em
, então multiplica-se pelo comprimento do intervalo em
, que é
.
Passo 3
Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Vou resolver essa integral usando a substituição (mudança de variável). Técnica e motivo: quando vemos uma composição como
junto com um fator
, é natural tentar a substituição
porque seu diferencial envolve exatamente
.
Passo 4
Fazendo a substituição:
Troca dos limites: quando
temos
; quando
temos
.
Então a integral vira
Passo 5
Calculando a integral de
:
Portanto