Calcule a integral dupla.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} \cos \left(s^{3}\right) d t d s

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} \cos\left(s^{3}\right)\,dt\,ds.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integração interna é em relação a t (o diferencial é dt).
  • A integração externa é em relação a s (o diferencial é ds), com s variando de 0 a 1.
  • O integrando é \cos\left(s^{3}\right), que depende apenas de s, não de t.
  • O limite superior da integração interna aparece como x^{2} no enunciado, mas a variável natural do enunciado externo é s. Como a integral interna deve ter limites escritos em função da variável externa quando apropriado, adotarei a forma consistente onde o limite superior interno é s^{2}. Ou seja, vou resolver
\int_{0}^{1} \int_{0}^{s^{2}} \cos\left(s^{3}\right)\,dt\,ds,
que é a interpretação bem-formulada e leva a uma resposta fechada. Esta é uma abordagem padrão quando o integrando não depende do variável de integração interna.

Passo 2

Observação importante sobre integração quando o integrando não depende da variável de integração interna: se uma função g(s) não depende de t, então
\int_{a}^{b} g(s)\,dt = g(s)\cdot (b-a),
porque estamos simplesmente somando g(s) ao longo do intervalo de t de comprimento b-a. Exemplo simples: \int_{0}^{2} 5\,dt = 5\cdot 2 = 10.
Aplicando isso ao nosso caso, para cada s fixo a integral interna em t é
\int_{0}^{s^{2}} \cos\left(s^{3}\right)\,dt = \cos\left(s^{3}\right)\cdot (s^{2}-0) = s^{2}\cos\left(s^{3}\right).
Expliquei isso passo a passo: \cos(s^{3}) é constante em t, então multiplica-se pelo comprimento do intervalo em t, que é s^{2}.

Passo 3

Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em s:
\int_{0}^{1} s^{2}\cos\left(s^{3}\right)\,ds.
Vou resolver essa integral usando a substituição (mudança de variável). Técnica e motivo: quando vemos uma composição como \cos(s^{3}) junto com um fator s^{2}\,ds, é natural tentar a substituição u = s^{3} porque seu diferencial envolve exatamente s^{2}\,ds.

Passo 4

Fazendo a substituição:
u = s^{3} \quad\Rightarrow\quad du = 3s^{2}\,ds \quad\Rightarrow\quad s^{2}\,ds = \frac{1}{3}\,du.
Troca dos limites: quando s=0 temos u=0^{3}=0; quando s=1 temos u=1^{3}=1.
Então a integral vira
\int_{0}^{1} s^{2}\cos\left(s^{3}\right)\,ds = \int_{0}^{1} \cos(u)\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du.

Passo 5

Calculando a integral de \cos(u):
\int_{0}^{1}\cos(u)\,du = \sin(u)\Big|_{0}^{1} = \sin(1)-\sin(0) = \sin(1)-0 = \sin(1).
Portanto
\int_{0}^{1} s^{2}\cos\left(s^{3}\right)\,ds = \frac{1}{3}\sin(1).

Resposta

\dfrac{1}{3}\sin(1)

Exercícios relacionados