3-8 Calcule a integral iterada.
8. \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x} x^{2} \operatorname{sen} y d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x} x^{2}\,\operatorname{sen} y \, dy \, dz \, dx.
Informações dadas:
\,x varia em [0,\pi].
Para cada x fixo, z varia em [0,x] e y varia em [0,x].
A integranda é x^{2}\operatorname{sen} y (vou usar a notação matemática \sin y para seno).
O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral tripla iterada.

Passo 2

Primeiro passo efetivo: integrar em y (primeira integral interna).
Observação importante: ao integrar em y, o x é constante (pois a integração é feita com respeito a y). Assim podemos tirar x^{2} para fora da integral em y.
Lembrando a primitiva de \sin y: \int \sin y \, dy = -\cos y.
Portanto
\int_{0}^{x} x^{2}\sin y \, dy = x^{2}\int_{0}^{x}\sin y \, dy = x^{2}\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{x} = x^{2}\bigl(-\cos x - (-\cos 0)\bigr) = x^{2}\bigl(1-\cos x\bigr).

Passo 3

Agora integramos em z (segunda integral): a expressão resultante da integral em y é x^{2}(1-\cos x), que não depende de z. Logo, ao integrar em z de 0 a x obtemos um fator igual ao comprimento do intervalo em z, que é x:
\int_{0}^{x} x^{2}(1-\cos x)\, dz = x^{2}(1-\cos x)\int_{0}^{x} dz = x^{2}(1-\cos x)\cdot x = x^{3}(1-\cos x).

Passo 4

Ficamos então com uma integral simples em x:
\int_{0}^{\pi} x^{3}(1-\cos x)\, dx.
Usamos linearidade das integrais para separar:
\int_{0}^{\pi} x^{3}(1-\cos x)\, dx = \int_{0}^{\pi} x^{3}\, dx \;-\; \int_{0}^{\pi} x^{3}\cos x \, dx.

Passo 5

Calculemos a primeira parcela diretamente: a primitiva de x^{3} é x^{4}/4, logo
\int_{0}^{\pi} x^{3}\, dx = \bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\bigr]_{0}^{\pi} = \tfrac{\pi^{4}}{4}.

Passo 6

Agora precisamos calcular \int_{0}^{\pi} x^{3}\cos x \, dx.
Método adequado: integração por partes. Fórmula de integração por partes:
\int u\, dv = uv - \int v\, du.
Escolhemos u = x^{3} (derivar reduz potência) e dv = \cos x\, dx (integrar dá \sin x). Então
du = 3x^{2}\, dx,\qquad v=\sin x.
Aplicando:
\int x^{3}\cos x\, dx = x^{3}\sin x - \int 3x^{2}\sin x\, dx.

Passo 7

Precisamos de \int x^{2}\sin x\, dx. Novamente usamos integração por partes com u=x^{2} e dv=\sin x\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = -\cos x,
e
\int x^{2}\sin x\, dx = -x^{2}\cos x + \int 2x\cos x\, dx.

Passo 8

Calcule \int x\cos x\, dx por partes: escolha u=x, dv=\cos x\,dx. Assim
du = dx,\qquad v=\sin x,
e
\int x\cos x\, dx = x\sin x - \int \sin x\, dx = x\sin x + \cos x,
pois \int \sin x\, dx = -\cos x.

Passo 9

Voltemos substituindo o resultado em \int x^{2}\sin x\, dx:
\int x^{2}\sin x\, dx = -x^{2}\cos x + 2\bigl(x\sin x + \cos x\bigr) = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x.
Agora substituímos isso em \int x^{3}\cos x\, dx:
\int x^{3}\cos x\, dx = x^{3}\sin x - 3\bigl(-x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x\bigr).
Distribuindo o -3:
\int x^{3}\cos x\, dx = x^{3}\sin x + 3x^{2}\cos x -6x\sin x -6\cos x + C.

Passo 10

Avalie a primitiva entre 0 e \pi:
Calcule em x=\pi: \sin\pi=0, \cos\pi=-1. Então
\bigl[x^{3}\sin x + 3x^{2}\cos x -6x\sin x -6\cos x\bigr]_{x=\pi} = 0 + 3\pi^{2}(-1) - 0 -6(-1) = -3\pi^{2} + 6.
Calcule em x=0: \sin 0=0, \cos 0=1, e termos com x^{2} ou x^{3} anulam, sobrando
\bigl[\cdots\bigr]_{x=0} = 0 + 0 - 0 -6(1) = -6.
Subtraindo (valor em \pi menos valor em 0):
\int_{0}^{\pi} x^{3}\cos x\, dx = (-3\pi^{2}+6) - (-6) = -3\pi^{2} + 12.

Passo 11

Voltemos à integral original:
\int_{0}^{\pi} x^{3}(1-\cos x)\, dx = \tfrac{\pi^{4}}{4} - \bigl(-3\pi^{2} + 12\bigr) = \tfrac{\pi^{4}}{4} + 3\pi^{2} - 12.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{4}}{4} + 3\pi^{2} - 12

Exercícios relacionados