3-8 Calcule a integral iterada.
8.
8.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
Informações dadas:
varia em
.
Para cada fixo,
varia em
e
varia em
.
A integranda é (vou usar a notação matemática
para seno).
O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral tripla iterada.
Para cada
A integranda é
O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral tripla iterada.
Passo 2
Primeiro passo efetivo: integrar em
(primeira integral interna).
Observação importante: ao integrar em , o
é constante (pois a integração é feita com respeito a
). Assim podemos tirar
para fora da integral em
.
Lembrando a primitiva de :
.
Portanto
Observação importante: ao integrar em
Lembrando a primitiva de
Portanto
Passo 3
Agora integramos em
(segunda integral): a expressão resultante da integral em
é
, que não depende de
. Logo, ao integrar em
de
a
obtemos um fator igual ao comprimento do intervalo em
, que é
:
Passo 4
Ficamos então com uma integral simples em
:
Usamos linearidade das integrais para separar:
Passo 5
Calculemos a primeira parcela diretamente: a primitiva de
é
, logo
Passo 6
Agora precisamos calcular
.
Método adequado: integração por partes. Fórmula de integração por partes:
Método adequado: integração por partes. Fórmula de integração por partes:
Escolhemos
(derivar reduz potência) e
(integrar dá
). Então
Aplicando:
Passo 7
Precisamos de
. Novamente usamos integração por partes com
e
.
Então
Então
e
Passo 8
Calcule
por partes: escolha
,
. Assim
e
pois
.
Passo 9
Voltemos substituindo o resultado em
:
Agora substituímos isso em
:
Distribuindo o
:
Passo 10
Avalie a primitiva entre
e
:
Calcule em :
,
. Então
Calcule em
Calcule em
:
,
, e termos com
ou
anulam, sobrando
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Passo 11
Voltemos à integral original: