Determinar a equação da curva cuja segunda derivada é igual a 34 sabendo que a curva passa pelos pontos (3,2) e (6,-4).

Passo 1

O enunciado pede a função cuja segunda derivada é constante igual a tfrac34 e que passe pelos pontos (3,2) e (6,-4). O conteúdo envolve integração de derivadas e aplicação de condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Como y''(x)=tfrac34, integramos uma vez em relação a x para obter a primeira derivada:
y'(x)=integral 34,dx=34x+A

Passo 3

Agora integramos y'(x) para obter y(x):
y(x)=integrall(34x+Ar)dx=38x^2+Ax+B

Passo 4

Aplicamos as condições de passagem nos pontos dados. Para x=3, y=2:
38cdot3^2+3A+B=2

Passo 5

Para x=6, y=-4:
38cdot6^2+6A+B=-4

Passo 6

Essas equações viram o sistema
3A+B=-tfrac118, 6A+B=-tfrac352

Passo 7

Subtraindo a primeira da segunda:
(6A+B)-(3A+B)=-tfrac352+tfrac118
3A=-tfrac1298 implies A=-tfrac438

Passo 8

Substituindo A em 3A+B=-tfrac118:
3l(-tfrac438r)+B=-tfrac118 implies B=tfrac594

Passo 9

Finalmente, substituindo A e B em y(x)=tfrac38x^2+Ax+B:

Resposta

y(x)=38x^2-438x+594

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