Determinar a equação da curva cuja segunda derivada é igual a 1x^3 sabendo que a curva passa pelo ponto (1,4) e tem por tangente neste ponto a reta 2 y=3 x+2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a curva cuja segunda derivada é y''=1/x^3, sabendo que ela passa por (1,4) e tem, neste ponto, reta tangente dada por 2y=3x+2. Vamos usar duas integrações sucessivas e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para achar y'(x), integramos y''(x)=x^-3. A integral é
integral x^-3,dx = -tfrac12 x^-2 + C1
Portanto

Passo 3

Agora integramos y'(x) para obter y(x). Temos
integrall(-tfrac12x^2 + C1r),dx = integral -tfrac12 x^-2,dx + integral C1,dx = tfrac12x + C1 x + C2
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Passo 4

A reta tangente em x=1 é dada por 2y=3x+2, ou seja y=tfrac32 x+1. Assim a inclinação em x=1 é y'(1)=tfrac32. Por outro lado
y'(1) = -tfrac12cdot1^2 + C1 = -tfrac12 + C1
Igualando as inclinações:
-tfrac12 + C1 = tfrac32
segue que C1 = 2.

Passo 5

Como a curva passa por (1,4), impomos
y(1) = tfrac12cdot1 + 2cdot1 + C2 = tfrac12 + 2 + C2 = 4
Dessa equação vem C2 = 4 - tfrac52 = tfrac32.

Resposta

y(x) = tfrac12x + 2x + tfrac32

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