Resolva
9 y^(3)+12 y^prime prime+4 y^prime=0

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes: 9y^(3) + 12y'' + 4y' = 0 Vamos usar o método do polinômio característico para resolver.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^rx. Substituindo na EDO, obtemos o polinômio característico:
9r^3 + 12r^2 + 4r = 0

Passo 3

Fatorando r em evidência, temos
r(9r^2 + 12r + 4) = 0
Uma raiz é r=0. As outras vêm de resolver a equação quadrática
9r^2 + 12r + 4 = 0

Passo 4

Calculando o discriminante:
De
logo há raiz dupla dada por
r = -122cdot9 = -tfrac23

Passo 5

As três raízes são r1=0 e r2=r3=-2/3. Isso gera as soluções fundamentais
y1 = e^0,x = 1, y2 = e^-2x/3, y3 = x,e^-2x/3

Passo 6

A solução geral é a combinação linear dessas três soluções.

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^-2x/3 + C3 x e^-2x/3

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