Analise a convergência das séries abaixo. Caso seja convergente, calcule sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty lnl(n^2+12n^2+1r). O conteúdo é teste de convergência de série numérica, e vamos precisar lembrar do teste da n-ésima parcela (se a parcela não tende a zero, a série diverge).

Passo 2

Analisamos a parcela geral: an = lnl(tfracn^2+12n^2+1r). Para ver se a parcela vai a zero, calculamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty an = limntoinfty lnl(n^2+12n^2+1r) = lnl(limntoinfty 1 + 1/n^22 + 1/n^2r) = lnl(12r) = -ln 2 neq 0

Passo 3

Como a n-ésima parcela an não tende a zero (tende a -ln2), pelo teste da n-ésima parcela a série diverge.

Passo 4

Portanto a série não é convergente e não existe soma finita.

Resposta

A série diverge, pois a parcela geral não tende a zero (limite igual a -ln2).

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