Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo que sua distância ao ponto A(3,-2) seja igual à metade de sua distância à reta y -2=0.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que a distância de P até o ponto A(3,-2) seja igual à metade da distância de P até a reta y-2=0. Vamos usar a fórmula de distância entre dois pontos e a fórmula de distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

A distância de P(x,y) até A é
d(P,A)=raiz(x-3)^2+(y+2)^2
e a distância de P até a reta y-2=0 é
d(P,r)=lvert y-2rvert
A condição do enunciado traduz-se em
raiz(x-3)^2+(y+2)^2=tfrac12,lvert y-2rvert

Passo 3

Para eliminar a raiz e o valor absoluto, elevamos ambos os lados ao quadrado, obtendo
(x-3)^2+(y+2)^2=tfrac14,(y-2)^2
Multiplicando toda a equação por 4, vem
4(x-3)^2+4(y+2)^2=(y-2)^2

Passo 4

Agora expandimos cada termo:
4l(x^2-6x+9r)+4l(y^2+4y+4r)=y^2-4y+4
que dá
4x^2-24x+36+4y^2+16y+16 = y^2-4y+4

Passo 5

Reagrupando todos os termos do mesmo lado, obtemos a forma geral da curva:
4x^2+3y^2-24x+20y+48=0

Resposta

A equação da curva é
4x^2+3y^2-24x+20y+48=0

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