Usando a definição de determinante, demonstre, para matrizes A e B de 2 times 2, as seguintes propriedades:
Se A tem duas colunas iguais, então det(A)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em matrizes 2times2, se as duas colunas de A são idênticas então det(A)=0. O conteúdo usado será a definição explícita de determinante em dimensão 2.

Passo 2

Escrevemos a matriz genérica
A = a & b c & d
e lembramos que, por definição,
det(A)=ad - bc

Passo 3

Agora imponha que as colunas de são iguais, isto é,
Isso implica e .

Passo 4

Substituindo b=a e d=c na fórmula do determinante, obtemos
det(A)=acdot d - bcdot c = acdot c - acdot c = 0

Resposta

Portanto, se A tem duas colunas iguais, então det(A)=0.

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