Usando a definição de determinante, demonstre, para matrizes A e B de 2 times 2, as seguintes propriedades:
det(A^T)=det(A).

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para toda matriz 2times 2
A = a & b[6pt]c & d,
vale
detl(A^Tr) = det(A)
O conteúdo aqui é a definição de determinante em dimensão 2 (via permutações) e a observação de que ao transpor a matriz os produtos que aparecem mudam de posição, mas mantêm o mesmo valor.]

Passo 2

Vamos lembrar a definição de determinante para . Seja
Pelas permutações de , o determinante é
]

Passo 3

Aplique essa fórmula em A. Temos
det(A) = acdot d ;-; bcdot c

Passo 4

Agora formamos a transposta
A^T = a & c[4pt]b & d
e calculamos
detl(A^Tr) = a cdot d ; - ; c cdot b
]

Passo 5

Note que ccdot b = bcdot c. Logo
detl(A^Tr) = a,d - c,b = a,d - b,c = det(A)

Resposta

boxeddetl(A^Tr)=det(A)

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