Determinar a equação da elipse que satisfaz os seguintes dados:
Eixo maior mede 5 e focos F1(2,-1) e F2(2,5).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse que tem eixo maior com comprimento 2a=5 (logo a=tfrac52) e focos em F1(2,-1) e F2(2,5). Como os focos têm a mesma abscissa x=2, a elipse teria eixo maior vertical e equação geral
(x-h)^2b^2+(y-k)^2a^2=1,
com centro (h,k), semi-eixo maior a e semi-eixo menor b.

Passo 2

Calcular o centro (h,k) como o ponto médio de F1 e F2:
h=2+22=2, k=-1+52=2
Distância entre os focos:
raiz(2-2)^2+(5-(-1))^2=raiz0+36=6,
logo 2c=6implies c=3.

Passo 3

Na elipse vale a relação
c^2=a^2-b^2
Substituindo a=tfrac52 e c=3 obtemos
b^2=a^2-c^2=l(tfrac52r)^2-3^2 =254-9=25-364=-114

Passo 4

Como b^2 sairia negativo, não existe valor real de b. Isso mostra que não há elipse real cujos focos estejam a essa distância enquanto o semi-eixo maior mede tfrac52.

Resposta

Não existe elipse real que satisfaça os dados fornecidos, pois exige-se c>a, o que viola a condição c<= a para elipses reais.

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