Mostre que se
e
são planos que contêm os vetores L.I.
respectivamente, então o vetor
é um vetor diretor da reta
de interseção entre
e
. Que acontece se
e
não se intersectam?
Passo 1
O enunciado fala de dois planos em
:
– O plano contém dois vetores linearmente independentes
e
.
– O plano contém dois vetores linearmente independentes
e
.
Queremos mostrar que
– O plano
– O plano
Queremos mostrar que
é um vetor diretor da reta
.
Para isso vamos usar a propriedade de que o vetor diretor da interseção de dois planos é perpendicular aos vetores normais desses planos.
Para isso vamos usar a propriedade de que o vetor diretor da interseção de dois planos é perpendicular aos vetores normais desses planos.
Passo 2
Como
e
geram o plano
, um vetor normal a
é
De forma análoga, como
e
geram
, um normal a
é
Passo 3
Para que um vetor
seja direção da reta de interseção, ele deve ser perpendicular a
e a
. Mas é bem sabido que, dados dois vetores
e
, o vetor
é perpendicular tanto a
quanto a
.
Se definirmos
Se definirmos
então
e
Logo
está contido em
(pois é perpendicular ao normal
) e também em
. Isso mostra que
é vetor diretor da reta
.
Passo 4
Se
e
não se intersectam, então elas são planos paralelos distintos. Nesse caso os seus normais
e
são colineares, ou seja,
para algum
. Então
Ou seja, o produto vetorial se anula e não há vetor diretor não nulo — refletindo o fato de que não existe reta de interseção.