Mostre que se alpha e beta são planos que contêm os vetores L.I. u, v e w, p respectivamente, então o vetor (u times v) times(w times p) é um vetor diretor da reta r de interseção entre alpha e beta. Que acontece se alpha e beta não se intersectam?

Passo 1

O enunciado fala de dois planos em R^3:
– O plano alpha contém dois vetores linearmente independentes vec u e vec v.
– O plano beta contém dois vetores linearmente independentes vec w e vec p.
Queremos mostrar que
l(vec utimesvec vr)timesl(vec wtimesvec pr)
é um vetor diretor da reta r=alphacapbeta.
Para isso vamos usar a propriedade de que o vetor diretor da interseção de dois planos é perpendicular aos vetores normais desses planos.

Passo 2

Como vec u e vec v geram o plano alpha, um vetor normal a alpha é
vec Nalpha=vec utimesvec v
De forma análoga, como vec w e vec p geram beta, um normal a beta é
vec Nbeta=vec wtimesvec p

Passo 3

Para que um vetor vec d seja direção da reta de interseção, ele deve ser perpendicular a vec Nalpha e a vec Nbeta. Mas é bem sabido que, dados dois vetores vec A e vec B, o vetor vec Atimes vec B é perpendicular tanto a vec A quanto a vec B.
Se definirmos
vec d = vec Nalpha times vec Nbeta = l(vec utimesvec vr)timesl(vec wtimesvec pr),
então
vec dcdot vec Nalpha = l(vec Nalphatimes vec Nbetar)cdot vec Nalpha = 0,
e
vec dcdot vec Nbeta = l(vec Nalphatimes vec Nbetar)cdot vec Nbeta = 0
Logo vec d está contido em alpha (pois é perpendicular ao normal vec Nalpha) e também em beta. Isso mostra que vec d é vetor diretor da reta r=alphacapbeta.

Passo 4

Se alpha e beta não se intersectam, então elas são planos paralelos distintos. Nesse caso os seus normais vec Nalpha e vec Nbeta são colineares, ou seja,
vec Nbeta = lambda,vec Nalpha
para algum lambdaneq0. Então
vec d = vec Nalpha times vec Nbeta = vec Nalpha times (lambda,vec Nalpha) = vec 0
Ou seja, o produto vetorial se anula e não há vetor diretor não nulo — refletindo o fato de que não existe reta de interseção.

Resposta

(vec utimesvec v)times(vec wtimesvec p) é vetor diretor de r=alphacapbeta. Se alpha e beta forem paralelos e não se intersectarem, esse vetor fica vec 0, indicando que não há reta de interseção.

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