1. Determinar uma equação geral do plano alpha que contém as retas r:cy=x+1 z=-3 x-2 e s: x2=y-32=z-1-6

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano alpha que contém as retas
r: y = x + 1, z = -3x - 2 e s:x2 = y-32 = z-1-6
Para resolver, vamos parametrizar cada reta, extrair vetores diretores e pontos, e usar produto vetorial para achar um vetor normal ao plano.

Passo 2

Parametrizando r por tinR:
x = t, y = t + 1, z = -3t - 2
Um ponto em r é Pr = (0,1,-2) (para t=0) e o vetor diretor é
u = (1,1,-3).

Passo 3

Parametrizando s por lambdainR:
x = 2lambda, y = 2lambda + 3, z = -6lambda + 1
Um ponto em s é Ps = (0,3,1) (para lambda=0) e o vetor diretor é
v = (2,2,-6).

Passo 4

Observamos que v = 2,u, ou seja, as retas são paralelas. Para montar o plano, usamos u e o vetor
w = Ps - Pr = (0,3,1) - (0,1,-2) = (0,2,3).
O vetor normal n ao plano é
n = utimesw = (1,1,-3)times(0,2,3) = (9,-3,2)

Passo 5

A equação geral do plano com normal n=(9,-3,2) e passando por Pr=(0,1,-2) é
9(x-0)-3(y-1)+2(z+2)=0,
que se simplifica para
9x - 3y + 2z + 7 = 0

Resposta

9x - 3y + 2z + 7 = 0

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