As questões 13-27 usam as regras para calcular determinantes específicos.
25. Se a entrada i, j de A é i+j, mostre que det A=0. (Exceção quando n=1 ou 2.)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A de ordem n cujas entradas são
Aij=i+j, i,j=1,2,dots,n,
e pede para mostrar que det A=0 sempre que n>=3 (nas ordens 1 e 2 a matriz não é singular). O conteúdo usado será a relação de dependência linear entre colunas (ou linhas) de A.

Passo 2

Defina os vetores coluna
Então, a coluna de , denotada por , é
Isso mostra que cada está no subespaço gerado por e , ou seja, todas as colunas de vivem num espaço de dimensão no máximo 2.

Passo 3

Para , o número de colunas ( ) excede a dimensão do subespaço que as contém (no máximo 2), logo há dependência linear entre elas. Em particular, por exemplo,
mostrando que três colunas já são linearmente dependentes. Assim , o que implica .

Resposta

det A=0 para toda ordem n>=3. As únicas exceções em que det Aneq0 ocorrem para n=1 ou n=2.

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