- Dados os seguintes planos:
e
, calcule:
(a)
e
para que os planos sejam paralelos.
(b) a distância entre eles.
(a)
(b) a distância entre eles.
Passo 1
O enunciado dá dois planos
e
e pede (a) os valores de
e
para que
seja paralelo a
e (b) a distância entre esses planos.
Conteúdo necessário:
Conteúdo necessário:
- Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais sejam proporcionais.
- A distância entre dois planos paralelos
é
Passo 2
Determinamos a proporcionalidade entre os normais
Queremos
(a,b,-4) = lambda,(3,2,-2) para algum
lambda . Das componentes,
Da terceira equação vem
Passo 3
Substituindo
lambda=2 em
a e
b , obtemos
Passo 4
Agora reescrevemos
pi com
a=6 e
b=4 :
Para usar a fórmula da distância, colocamos os dois planos com o mesmo vetor normal
n=(3,2,-2) . Dividindo a equação de
pi por 2, fica
e a equação de
alpha é
Aqui
D1 = tfrac32 e
D2 = 20 .
Passo 5
O módulo do normal é
Logo a distância é
Resposta
(a)
a=6 e
b=4 .
(b)d = dfrac372raiz17 .
(b)