1. Dados os seguintes planos: pi: a x+b y-4 z+3=0 e alpha: 3 x+2 y- 2 z+20=0, calcule:
    (a) a e b para que os planos sejam paralelos.
    (b) a distância entre eles.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
pi: a x + b y - 4 z + 3 = 0
e
alpha: 3 x + 2 y - 2 z + 20 = 0,
e pede (a) os valores de a e b para que pi seja paralelo a alpha e (b) a distância entre esses planos.
Conteúdo necessário:
  1. Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais sejam proporcionais.
  2. A distância entre dois planos paralelos
ncdot x + D1 = 0 e ncdot x + D2 = 0
é
d = l|D2 - D1r||n|

Passo 2

Determinamos a proporcionalidade entre os normais
npi = (a,,b,,-4), nalpha = (3,,2,,-2)
Queremos (a,b,-4) = lambda,(3,2,-2) para algum lambda. Das componentes,
a = 3lambda, b = 2lambda, -4 = -2lambda
Da terceira equação vem
lambda = -4-2 = 2

Passo 3

Substituindo lambda=2 em a e b, obtemos
a = 3cdot 2 = 6, b = 2cdot 2 = 4

Passo 4

Agora reescrevemos pi com a=6 e b=4:
pi: 6x + 4y -4z +3 = 0
Para usar a fórmula da distância, colocamos os dois planos com o mesmo vetor normal n=(3,2,-2). Dividindo a equação de pi por 2, fica
pi': 3x + 2y -2z + tfrac32 = 0,
e a equação de alpha é
alpha: 3x + 2y -2z +20 = 0
Aqui D1 = tfrac32 e D2 = 20.

Passo 5

O módulo do normal é
|n| = raiz3^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz9 + 4 + 4 = raiz17
Logo a distância é
d = l|D2 - D1r||n| = l|20 - tfrac32r|raiz17 = tfrac372raiz17 = 372raiz17

Resposta

(a) a=6 e b=4.
(b) d = dfrac372raiz17.

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