Determinar a equação geral do plano que:
  1. passa pelos pontos A=(-3,1,-2) e B=(-1,2,1) e é paralelo ao vetor v=2 i-3 3.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos
A=(-3,1,-2), B=(-1,2,1)
e é paralelo ao vetor
vec v = 2,vec i - 3,vec k
Aqui o conteúdo é geometria analítica em R^3: para determinar um plano precisamos de um ponto e de um vetor normal ao plano. Como o plano contém duas direções (o segmento AB e o vetor vec v), vamos obter o vetor normal pelo produto vetorial dessas duas direções.

Passo 2

Calcular o vetor direção AB. Subtraímos as coordenadas de A de B:
AB = B - A = (-1 - (-3),;2 - 1,;1 - (-2)) = (2,,1,,3)

Passo 3

Identificamos as duas direções do plano:
u=AB=(2,1,3), v=(2,0,-3)
O vetor normal vec n ao plano é dado por
vec n = utimes v

Passo 4

Calcular o produto vetorial:
vec n = vec i & vec j & vec k 2 & 1 & 3 2 & 0 & -3 =vec i,(1cdot(-3)-3cdot0); -vec j,(2cdot(-3)-3cdot2); +vec k,(2cdot0-1cdot2)
Isso dá
vec n = (-3),vec i -(-12),vec j +(-2),vec k = (-3,,12,,-2)
Podemos multiplicar por -1 para simplificar o sinal:
vec n = (3,,-12,,2)

Passo 5

Usar a forma ponto–normal do plano. Se vec n=(a,b,c) e P0=(x0,y0,z0) é ponto do plano, a equação é
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Escolhendo P0=A=(-3,1,-2) e vec n=(3,-12,2), temos
3,(x+3)-12,(y-1)+2,(z+2)=0
Expandindo:
3x+9-12y+12+2z+4=0 ;Longrightarrow; 3x-12y+2z+25=0

Resposta

A equação geral do plano é
boxed3x - 12y + 2z + 25 = 0

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