Determine a equação da parábola P que tem:
foco F=(7,2) e diretriz L: x=5;

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola P cujo foco é F=(7,2) e cuja diretriz é a reta x=5. Para resolver, vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) que têm a mesma distância ao foco e à diretriz.

Passo 2

Seja P=(x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de P ao foco F=(7,2) é
d(P,F)=raiz(x-7)^2+(y-2)^2
A distância de P à diretriz x=5 é
dl(P,Lr)=|x-5|
Pela definição de parábola temos
raiz(x-7)^2+(y-2)^2 ;=; |x-5|

Passo 3

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto, obtemos
(x-7)^2+(y-2)^2 ;=;(x-5)^2

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos:
x^2 -14x +49 + y^2 -4y +4 = x^2 -10x +25
Cancelando x^2 e juntando termos semelhantes:
-14x +49 + y^2 -4y +4 +10x -25 = 0
y^2 -4y -4x +28 = 0

Passo 5

Para colocar em forma padrão, completamos o quadrado em y:
y^2 -4y +4 -4 +28 -4x =0 Longrightarrow (y-2)^2 -4x +24 =0
Longrightarrow (y-2)^2 =4x -24 Longrightarrow (y-2)^2 =4l(x-6r)

Resposta

A equação da parábola é
(y-2)^2 =4(x-6),
que equivale à forma geral
y^2 -4y -4x +28 =0

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