Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (h) contém as retas e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação geral do plano que contém as retas e . Isso envolve o estudo de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar retas parametricamente, encontrar vetores diretores e usar produtos vetoriais para determinar o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas e de forma paramétrica para facilitar a visualização.
Para a reta :
Podemos definir um parâmetro para representar essa reta:
Para a reta :
Definindo um parâmetro :
Passo 3
Agora, vamos identificar um ponto comum em ambos os planos e os vetores diretores das retas. Observamos que as retas P(7, 2, 1) e dr = 3 2 -2 , ds = 2 -3 4 estão contidas no mesmo plano, então podemos usar um ponto em uma das retas e os vetores diretores para encontrar a equação do plano.
Escolhemos o ponto quando na reta :
Os vetores diretores das retas e são:
Passo 4
Para determinar o plano, precisamos de um vetor normal a ele. Esse vetor normal pode ser encontrado através do produto vetorial dos vetores diretores das retas n = i & j & k 3 & 2 & -2 2 & -3 & 4 e n = i(2 cdot 4 - (-2) cdot (-3)) - j(3 cdot 4 - (-2) cdot 2) + k(3 cdot (-3) - 2 cdot 2) .
Calcular o produto vetorial n = i(8 - 6) - j(12 - (-4)) + k(-9 - 4) :
n = i(2) - j(16) + k(-13)
n = 2 -16 -13
Passo 5
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto 2(x - 7) - 16(y - 2) - 13(z - 1) = 0 pertencente ao plano, podemos usar a equação geral do plano:
onde são as componentes do vetor normal e é o ponto conhecido.
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para a forma geral 2x - 14 - 16y + 32 - 13z + 13 = 0 :
Distribuindo os termos:
2x - 16y - 13z + ( -14 + 32 + 13 ) = 0
Somando os termos constantes:
2x - 16y - 13z + 31 = 0
Resposta
A equação geral do plano que contém as retas 2x - 16y - 13z + 31 = 0 e é: