Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
contém as retas
e
contém as retas
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação geral dos planos que contêm as retas
e
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A reta
está dada em forma simétrica . - A reta
está dada em forma simétrica . - O objetivo é escrever a equação (ou as equações) dos planos que contêm ambas as retas.
Passo 2
Transformar cada reta para forma paramétrica para obter um ponto qualquer da reta e o vetor diretor.
Para
: coloque o parâmetro
tal que
Assim,
Um ponto de
(tomando
) é
O vetor diretor de
(coeficientes de
) é
Para
: coloque o parâmetro
tal que
Então
Um ponto de
(tomando
) é
O vetor diretor de
é
Passo 3
Verificar a posição relativa das retas (se são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas).
Comparando
e
observa-se que
ou seja, os vetores são proporcionais. Portanto as retas são paralelas (podem ser coincidentes ou distintas).
Testar se são coincidentes: ver se
pertence a
. Se existe
tal que
, então
. Para esse
teríamos
, mas o ponto
tem
, logo
não pertence a
. Assim, as retas são paralelas e distintas.
Observação importante (geométrica): duas retas paralelas distintas determinam exatamente um plano que as contém. Portanto existe um único plano procurado.
Passo 4
Construir o plano que contém as duas retas. Estratégia: um plano é determinado por um ponto e um vetor normal. Tomando um ponto em uma das retas (por exemplo
) e sabendo que o plano contém o vetor diretor
e também o vetor que liga
a um ponto da outra reta
, podemos obter o vetor normal como produto vetorial desses dois vetores.
Calcular o vetor de ligação
Calcular o produto vetorial
, que dá um vetor normal ao plano. Usando a definição coordenada a coordenada:
O produto vetorial tem componentes
Logo
Podemos simplificar este normal dividindo por
(qualquer múltiplo não nulo de um normal também é normal):
Breve explicação do porquê: o produto vetorial de dois vetores dá um vetor perpendicular a ambos; como
e
estão no plano,
é normal ao plano.]
Passo 5
Escrever a equação do plano usando o ponto
e o normal
. A equação vetorial do plano é
Escrevendo em coordenadas:
Fazendo o produto escalar:
Isto dá
Simplificando:
Verificação rápida (para maior segurança): para
tem-se
e para
tem-se
, logo ambos os pontos das retas satisfazem a equação; além disso
pois
, indicando que a reta diretriz fica no plano.