Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
contém as retas r: \frac{x}{2}=y+1=z+3 \quad e \quad s: \frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação geral dos planos que contêm as retas
r:\frac{x}{2}=y+1=z+3
e
s:\frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reta r está dada em forma simétrica \dfrac{x}{2}=y+1=z+3.
  • A reta s está dada em forma simétrica \dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{2}.
  • O objetivo é escrever a equação (ou as equações) dos planos que contêm ambas as retas.

Passo 2

Transformar cada reta para forma paramétrica para obter um ponto qualquer da reta e o vetor diretor.
Para r: coloque o parâmetro \,t tal que
\frac{x}{2}=y+1=z+3=t.
Assim,
x=2t,\qquad y=t-1,\qquad z=t-3.
Um ponto de r (tomando t=0) é
P_0=(0,-1,-3).
O vetor diretor de r (coeficientes de t) é
\vec{v_r}=(2,1,1).
Para s: coloque o parâmetro \,u tal que
\frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{2}=u.
Então
x=4u-1,\qquad y=2u+2,\qquad z=2u.
Um ponto de s (tomando u=0) é
Q_0=(-1,2,0).
O vetor diretor de s é
\vec{v_s}=(4,2,2).

Passo 3

Verificar a posição relativa das retas (se são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas).
Comparando \vec{v_r}=(2,1,1) e \vec{v_s}=(4,2,2) observa-se que
\vec{v_s}=2\vec{v_r},
ou seja, os vetores são proporcionais. Portanto as retas são paralelas (podem ser coincidentes ou distintas).
Testar se são coincidentes: ver se Q_0 pertence a r. Se existe t tal que 2t=-1, então t=-\tfrac{1}{2}. Para esse t teríamos y=t-1=-\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{3}{2}, mas o ponto Q_0 tem y=2, logo Q_0 não pertence a r. Assim, as retas são paralelas e distintas.
Observação importante (geométrica): duas retas paralelas distintas determinam exatamente um plano que as contém. Portanto existe um único plano procurado.

Passo 4

Construir o plano que contém as duas retas. Estratégia: um plano é determinado por um ponto e um vetor normal. Tomando um ponto em uma das retas (por exemplo P_0) e sabendo que o plano contém o vetor diretor \vec{v_r} e também o vetor que liga P_0 a um ponto da outra reta Q_0, podemos obter o vetor normal como produto vetorial desses dois vetores.
Calcular o vetor de ligação
\vec{w}=Q_0-P_0=(-1-0,\;2-(-1),\;0-(-3))=(-1,3,3).
Calcular o produto vetorial \vec{n}=\vec{v_r}\times\vec{w}, que dá um vetor normal ao plano. Usando a definição coordenada a coordenada:
\vec{v_r}=(2,1,1),\qquad \vec{w}=(-1,3,3).
O produto vetorial tem componentes
\begin{aligned} n_x &= 1\cdot 3 - 1\cdot 3 = 3-3=0,\\[4pt] n_y &= -(2\cdot 3 - 1\cdot (-1)) = -(6+1)=-7,\\[4pt] n_z &= 2\cdot 3 - 1\cdot (-1) = 6+1=7. \end{aligned}
Logo
\vec{n}=(0,-7,7).
Podemos simplificar este normal dividindo por 7 (qualquer múltiplo não nulo de um normal também é normal):
\vec{n}=(0,-1,1).
Breve explicação do porquê: o produto vetorial de dois vetores dá um vetor perpendicular a ambos; como \vec{v_r} e \vec{w} estão no plano, \vec{n} é normal ao plano.]

Passo 5

Escrever a equação do plano usando o ponto P_0=(0,-1,-3) e o normal \vec{n}=(0,-1,1). A equação vetorial do plano é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0.
Escrevendo em coordenadas:
(0,-1,1)\cdot(x-0,\;y+1,\;z+3)=0.
Fazendo o produto escalar:
0\cdot(x-0)+(-1)\cdot(y+1)+1\cdot(z+3)=0.
Isto dá
-y-1+z+3=0.
Simplificando:
z-y+2=0.
Verificação rápida (para maior segurança): para P_0 tem-se -3-(-1)+2=0 e para Q_0 tem-se 0-2+2=0, logo ambos os pontos das retas satisfazem a equação; além disso \vec{n}\cdot\vec{v_r}=0 pois (0,-1,1)\cdot(2,1,1)= -1+1=0, indicando que a reta diretriz fica no plano.

Resposta

z-y+2=0

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