Determine as equações da reta r definida pelos pontos A=(2,-1,4) e B=r_{1} \cap r_{2}, com r_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{1-z}{2} \quad e \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{rl}x & =0+3 t \\\ y & =1+2 t \\\ z & =2+t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..
Passo 1
O enunciado pede: determinar as equações da reta r que passa pelo ponto A=(2,-1,4) e por B, onde B é o ponto de interseção das retas r_{1} e r_{2}.
Informações dadas:
Ponto A=(2,-1,4).
Reta r_{1} dada na forma simétrica \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{1-z}{2}.
Reta r_{2} dada na forma paramétrica x=3t,\; y=1+2t,\; z=2+t,\; t\in\mathbb{R}.
Objetivo: achar o ponto B=r_{1}\cap r_{2} e então escrever as equações da reta r que passa por A e B.
Passo 2
Converter r_{1} (forma simétrica) para forma paramétrica. Quando se tem uma igualdade do tipo
\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{1-z}{2},
isso significa que todas essas frações são iguais a um mesmo parâmetro; chamo esse parâmetro de s. Logo
É comum simplificar o vetor diretor dividindo por um escalar para obter coordenadas menores; dividindo por -2 encontramos um vetor equivalente:
\overrightarrow{d}=(1,-1,1).
Esse vetor \overrightarrow{d} pode ser usado como vetor diretor da reta r.
Passo 7
Montar as equações da reta r. A forma vetorial/paramétrica geral de uma reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \overrightarrow{d}=(d_x,d_y,d_z) é