Determine as equações da reta r definida pelos pontos A=(2,-1,4) e B=r_{1} \cap r_{2}, com
r_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{1-z}{2} \quad e \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{rl}x & =0+3 t \\\ y & =1+2 t \\\ z & =2+t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações da reta r que passa pelo ponto A=(2,-1,4) e por B, onde B é o ponto de interseção das retas r_{1} e r_{2}.
Informações dadas:
  • Ponto A=(2,-1,4).
  • Reta r_{1} dada na forma simétrica \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{1-z}{2}.
  • Reta r_{2} dada na forma paramétrica x=3t,\; y=1+2t,\; z=2+t,\; t\in\mathbb{R}.
    Objetivo: achar o ponto B=r_{1}\cap r_{2} e então escrever as equações da reta r que passa por A e B.

Passo 2

Converter r_{1} (forma simétrica) para forma paramétrica. Quando se tem uma igualdade do tipo
\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{1-z}{2},
isso significa que todas essas frações são iguais a um mesmo parâmetro; chamo esse parâmetro de s. Logo
\frac{x-1}{2}=s,\qquad \frac{y-3}{4}=s,\qquad \frac{1-z}{2}=s.
Agora isolamos x,y,z em função de s:
x=1+2s,\qquad y=3+4s,\qquad 1-z=2s\Rightarrow z=1-2s.
Portanto a forma paramétrica de r_{1} é
x=1+2s,\qquad y=3+4s,\qquad z=1-2s,\qquad s\in\mathbb{R}.
(Isto transforma a representação simétrica numa representação paramétrica, que fica mais fácil de igualar às coordenadas de r_{2}.)

Passo 3

Reescrever r_{2} já dada em forma paramétrica, usando o parâmetro t:
x=3t,\qquad y=1+2t,\qquad z=2+t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Agora temos r_{1} em função de s e r_{2} em função de t. O ponto de interseção corresponde a valores s e t tais que as três coordenadas coincidam.

Passo 4

Igualar componentes para impor (x,y,z) de r_{1} iguais às de r_{2}. Obtemos o sistema:
1+2s=3t, \qquad 3+4s=1+2t, \qquad 1-2s=2+t.
Vou resolver esse sistema passo a passo.
Da segunda equação:
3+4s=1+2t \quad\Rightarrow\quad 4s-2t=-2.
Dividindo por 2:
2s-t=-1 \quad\Rightarrow\quad t=2s+1.
Substituir t=2s+1 na primeira equação:
1+2s=3t=3(2s+1)=6s+3.
Isolando s:
1+2s-6s-3=0\quad\Rightarrow\quad -4s-2=0\quad\Rightarrow\quad -4s=2\quad\Rightarrow\quad s=-\tfrac{1}{2}.
Agora t=2s+1=2(-\tfrac{1}{2})+1=-1+1=0.

Passo 5

Verificar na terceira equação (checagem):
1-2s=1-2(-\tfrac{1}{2})=1+1=2,
e com t=0 a terceira equação de r_{2} z=2+t=2. Está consistente. Portanto existe interseção e os parâmetros encontrados são corretos.
Agora obtemos o ponto B substituindo t=0 em r_{2} (ou s=-\tfrac{1}{2} em r_{1}):
B=(x,y,z)=(3\cdot 0,\;1+2\cdot 0,\;2+0)=(0,1,2).

Passo 6

Calcular o vetor diretor da reta r que passa por A e B. O vetor \overrightarrow{AB} é obtido por subtração de coordenadas:
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-2,\;1-(-1),\;2-4)=(-2,\;2,\;-2).
É comum simplificar o vetor diretor dividindo por um escalar para obter coordenadas menores; dividindo por -2 encontramos um vetor equivalente:
\overrightarrow{d}=(1,-1,1).
Esse vetor \overrightarrow{d} pode ser usado como vetor diretor da reta r.

Passo 7

Montar as equações da reta r. A forma vetorial/paramétrica geral de uma reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \overrightarrow{d}=(d_x,d_y,d_z) é
\mathbf{r}=\mathbf{P}+\lambda\overrightarrow{d},
o que em coordenadas dá as equações paramétricas
x=x_0+d_x\lambda,\qquad y=y_0+d_y\lambda,\qquad z=z_0+d_z\lambda,\qquad \lambda\in\mathbb{R},
e, se d_x,d_y,d_z\neq0, a forma simétrica
\frac{x-x_0}{d_x}=\frac{y-y_0}{d_y}=\frac{z-z_0}{d_z}.
Usando o ponto A=(2,-1,4) e \overrightarrow{d}=(1,-1,1) obtemos as equações da reta r. (A forma usando B como ponto base dá formas equivalentes.)

Resposta

x=2+\lambda,\; y=-1-\lambda,\; z=4+\lambda,\; \lambda\in\mathbb{R}
\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-4}{1}

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