Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
passa pelo ponto
e contém os vetores
e
passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelo ponto
e contém os vetores
e
.
Informações dadas:
- Ponto pelo qual o plano passa:
. - Dois vetores contidos no plano (vetores diretores):
e .
O que precisamos encontrar:
- A equação geral do plano na forma
.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): um plano em
pode ser descrito por um vetor normal
e um ponto
no plano. A equação vetorial do plano é
onde
é um ponto arbitrário do plano e
é o produto escalar (dot product). Ou seja, o vetor
é perpendicular a todo vetor que liga
a um ponto do plano.
Como temos dois vetores
e
contidos no plano, qualquer vetor normal ao plano deve ser perpendicular a ambos. Um modo direto de obter um vetor perpendicular a
e
é calcular o produto vetorial (cross product)
. Esse produto dá um vetor perpendicular aos dois.
Passo 3
Fórmula do produto vetorial e explicação dos termos:
Se e
, então
Se
Cada componente é obtida multiplicando componentes de
e
e subtraindo conforme a fórmula acima. O resultado é um vetor perpendicular a
e
.
Vamos aplicar essa fórmula aos vetores dados.
Passo 4
Calcule
passo a passo com os valores:
-
, , . -
, , .
Componentes:
Portanto
Observação prática: qualquer múltiplo escalar de um vetor normal também é normal. Multiplicando por
obtemos o vetor com sinais positivos, mais simples para a equação:
Vamos usar
como vetor normal do plano.]
Passo 5
Montar a equação do plano usando
e o ponto
. A equação vetorial é
com
e
. Escrevendo o produto escalar:
Isso dá
Agora expandimos:
Somando os termos constantes:
Essa é a equação geral do plano procurado.
Passo 6
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
- Verificar que
está no plano no sentido de ser ortogonal a :
- Verificar que
é ortogonal a :
- Verificar que o ponto
satisfaz a equação:
Tudo confere: a equação está correta.