Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
passa pelo ponto E=(1,2,2) e contém os vetores u=(2,-1,1) e v=(-3,1,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelo ponto E=(1,2,2) e contém os vetores u=(2,-1,1) e v=(-3,1,2).
Informações dadas:
  • Ponto pelo qual o plano passa: E=(1,2,2).
  • Dois vetores contidos no plano (vetores diretores): u=(2,-1,1) e v=(-3,1,2).
O que precisamos encontrar:
  • A equação geral do plano na forma ax+by+cz+d=0.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): um plano em \mathbb{R}^3 pode ser descrito por um vetor normal n=(a,b,c) e um ponto r_0 no plano. A equação vetorial do plano é
n\cdot (r-r_0)=0,
onde r=(x,y,z) é um ponto arbitrário do plano e \cdot é o produto escalar (dot product). Ou seja, o vetor n é perpendicular a todo vetor que liga r_0 a um ponto do plano.
Como temos dois vetores u e v contidos no plano, qualquer vetor normal ao plano deve ser perpendicular a ambos. Um modo direto de obter um vetor perpendicular a u e v é calcular o produto vetorial (cross product) u\times v. Esse produto dá um vetor perpendicular aos dois.

Passo 3

Fórmula do produto vetorial e explicação dos termos:
Se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), então
u\times v=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Cada componente é obtida multiplicando componentes de u e v e subtraindo conforme a fórmula acima. O resultado é um vetor perpendicular a u e v.
Vamos aplicar essa fórmula aos vetores dados.

Passo 4

Calcule u\times v passo a passo com os valores:
  • u_1=2, u_2=-1, u_3=1.
  • v_1=-3, v_2=1, v_3=2.
Componentes:
\begin{aligned} (u\times v)_1 &= u_2 v_3 - u_3 v_2 = (-1)\cdot 2 - 1\cdot 1 = -2 - 1 = -3,\\[4pt] (u\times v)_2 &= u_3 v_1 - u_1 v_3 = 1\cdot(-3) - 2\cdot 2 = -3 - 4 = -7,\\[4pt] (u\times v)_3 &= u_1 v_2 - u_2 v_1 = 2\cdot 1 - (-1)\cdot(-3) = 2 - 3 = -1. \end{aligned}
Portanto
u\times v = (-3,-7,-1).
Observação prática: qualquer múltiplo escalar de um vetor normal também é normal. Multiplicando por -1 obtemos o vetor com sinais positivos, mais simples para a equação:
n = - (u\times v) = (3,7,1).
Vamos usar n=(3,7,1) como vetor normal do plano.]

Passo 5

Montar a equação do plano usando n e o ponto E. A equação vetorial é
n\cdot (r-r_0)=0,
com r=(x,y,z) e r_0=E=(1,2,2). Escrevendo o produto escalar:
(3,7,1)\cdot (x-1,\;y-2,\;z-2)=0.
Isso dá
3(x-1)+7(y-2)+1(z-2)=0.
Agora expandimos:
3x-3+7y-14+z-2=0.
Somando os termos constantes:
3x+7y+z-19=0.
Essa é a equação geral do plano procurado.

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Verificar que u está no plano no sentido de ser ortogonal a n:
n\cdot u = (3,7,1)\cdot(2,-1,1)=3\cdot2+7\cdot(-1)+1\cdot1=6-7+1=0.
  • Verificar que v é ortogonal a n:
n\cdot v = (3,7,1)\cdot(-3,1,2)=3\cdot(-3)+7\cdot1+1\cdot2=-9+7+2=0.
  • Verificar que o ponto E satisfaz a equação:
3\cdot1+7\cdot2+1\cdot2-19=3+14+2-19=0.
Tudo confere: a equação está correta.

Resposta

3x+7y+z-19=0

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