Obtenha, diretamente das equações, um ponto e um vetor diretor da reta dada.
\left\{\begin{array}{rl}x & =3+t \\\ y & =-1+t \\\ z & =4+t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas da reta e pede duas coisas claras:
  • Um ponto que pertença à reta.
  • Um vetor diretor da reta.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • As equações paramétricas são \displaystyle x=3+t,\; y=-1+t,\; z=4+t,\; t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Entendendo o que significa cada equação (aula rápida): uma reta em \mathbb{R}^3 frequentemente é escrita na forma paramétrica
x = x_0 + a t,\qquad y = y_0 + b t,\qquad z = z_0 + c t,
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto fixo da reta (quando t=0) e (a,b,c) é um vetor que indica a direção da reta (os coeficientes que multiplicam t). Esse vetor é chamado vetor diretor porque, ao variar t, a reta se desloca nessa direção.

Passo 3

Obter um ponto da reta “diretamente das equações”: basta escolher um valor conveniente para t. O valor mais simples é t=0. Substituindo \\ t=0 nas equações paramétricas obtemos as coordenadas do ponto correspondente:
x(0)=3+0=3,\qquad y(0)=-1+0=-1,\qquad z(0)=4+0=4.
Portanto um ponto da reta é (3,-1,4).

Passo 4

Obter o vetor diretor “diretamente das equações”: olhar os coeficientes multiplicando t em cada coordenada. Nas equações dadas, o termo em t é +t em x, +t em y e +t em z. Isso quer dizer que os coeficientes são 1,1,1. Assim um vetor diretor candidato é (1,1,1).

Passo 5

Verificação simples (didática): pegar outro valor de t, por exemplo t=1, e calcular o ponto correspondente; depois subtrair dos pontos para ver o vetor direção.
Para t=1:
x(1)=3+1=4,\quad y(1)=-1+1=0,\quad z(1)=4+1=5,
então outro ponto da reta é (4,0,5).
A diferença entre esse ponto e o ponto para t=0 é
(4,0,5)-(3,-1,4)=(1,1,1),
confirmando que (1,1,1) é, de fato, um vetor diretor da reta.

Passo 6

Escrever a reta na forma vetorial para consolidar a ideia (opcional, mas útil na prova):
\mathbf{r}(t)=\bigl(3,-1,4\bigr)+t\bigl(1,1,1\bigr),
onde \bigl(3,-1,4\bigr) é um ponto da reta e \bigl(1,1,1\bigr) é o vetor diretor.

Resposta

(3,-1,4)
(1,1,1)

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