Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
passa pelos pontos P=(2,1,0), Q=(1,4,2) e R=(0,2,2)
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
Pede-se a equação geral do plano que passa pelos pontos \,P=(2,1,0)\,,\;Q=(1,4,2) e \,R=(0,2,2).
Informações dadas (peguei esses pontos do enunciado):
P=(2,1,0)
Q=(1,4,2)
R=(0,2,2)
Passo 2
Ideia geral (sem calcular ainda): para obter a equação de um plano a partir de três pontos não colineares, constrói-se dois vetores que estejam no plano (por exemplo \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR}), depois toma-se o produto vetorial (cross product) desses dois vetores para obter um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) ao plano. Com \mathbf{n} conhecido, a equação do plano pode ser escrita como
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0,
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano (por exemplo P) e x,y,z são as coordenadas gerais de um ponto qualquer do plano. Aqui a,b,c são as componentes do vetor normal: se \mathbf{n}=(a,b,c), então a equação geral do plano é
ax+by+cz+d=0,
onde d=-(a x_0+b y_0+c z_0).
Passo 3
Calcular os vetores no plano \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR}.