Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
passa pelos pontos P=(2,1,0), Q=(1,4,2) e R=(0,2,2)

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se a equação geral do plano que passa pelos pontos \,P=(2,1,0)\,,\;Q=(1,4,2) e \,R=(0,2,2).
  • Informações dadas (peguei esses pontos do enunciado):
    • P=(2,1,0)
    • Q=(1,4,2)
    • R=(0,2,2)

Passo 2

Ideia geral (sem calcular ainda): para obter a equação de um plano a partir de três pontos não colineares, constrói-se dois vetores que estejam no plano (por exemplo \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR}), depois toma-se o produto vetorial (cross product) desses dois vetores para obter um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) ao plano. Com \mathbf{n} conhecido, a equação do plano pode ser escrita como
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0,
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano (por exemplo P) e x,y,z são as coordenadas gerais de um ponto qualquer do plano. Aqui a,b,c são as componentes do vetor normal: se \mathbf{n}=(a,b,c), então a equação geral do plano é
ax+by+cz+d=0,
onde d=-(a x_0+b y_0+c z_0).

Passo 3

Calcular os vetores no plano \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR}.
  • \overrightarrow{PQ}=Q-P=(1-2,\;4-1,\;2-0)=(-1,\;3,\;2).
  • \overrightarrow{PR}=R-P=(0-2,\;2-1,\;2-0)=(-2,\;1,\;2).

Passo 4

Explicar e calcular o produto vetorial \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR} para obter o vetor normal.
O produto vetorial de \,(u_1,u_2,u_3)\times(v_1,v_2,v_3) é dado pelo determinante
\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
cujo resultado é o vetor (u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1).
Aplicando aos vetores calculados:
\overrightarrow{PQ}=(-1,3,2),\qquad \overrightarrow{PR}=(-2,1,2).
Portanto
\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}= \bigl(3\cdot2-2\cdot1,\;2\cdot(-2)-(-1)\cdot2,\;(-1)\cdot1-3\cdot(-2)\bigr).
Calcule cada componente:
3\cdot2-2\cdot1=6-2=4,
2\cdot(-2)-(-1)\cdot2=-4-(-2)=-4+2=-2,
(-1)\cdot1-3\cdot(-2)=-1+6=5.
Assim o vetor normal é
\mathbf{n}=(4,\;-2,\;5).

Passo 5

Escrever a equação do plano usando o vetor normal e um ponto conhecido.
Usando a fórmula a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 com \mathbf{n}=(a,b,c)=(4,-2,5) e o ponto P=(2,1,0), temos
4(x-2)-2(y-1)+5(z-0)=0.
Agora expandir e simplificar:
4x-8-2y+2+5z=0
4x-2y+5z-6=0.
Esta é a equação geral do plano.

Passo 6

Verificação rápida (para garantir que Q e R realmente pertencem ao plano).
Substituir Q=(1,4,2) em \;4x-2y+5z-6:
4\cdot1-2\cdot4+5\cdot2-6=4-8+10-6=0.
Substituir R=(0,2,2):
4\cdot0-2\cdot2+5\cdot2-6=0-4+10-6=0.
Ambos satisfazem a equação, portanto a fórmula está correta.

Resposta

4x-2y+5z-6=0

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