Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
passa pelos pontos A=(-2,1,0), B=(-1,4,2) e C=(0,-2,2)

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço e pede a equação geral do(s) plano(s) que passa(m) por eles. Os pontos são:
  • A = (-2,\,1,\,0)
  • B = (-1,\,4,\,2)
  • C = (0,\,-2,\,2)
A pergunta é: determinar a equação do plano que passa por A, B e C.

Passo 2

Vou explicar a ideia que vou usar (calma — é super padrão e muito útil na prova). A equação geral de um plano no espaço tem a forma
a x + b y + c z + d = 0,
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano (ou seja, um vetor perpendicular a todo vetor que tangencia o plano). Se eu conseguir um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) e um ponto qualquer do plano (por exemplo A), posso escrever a equação do plano usando o produto escalar:
\mathbf{n}\cdot ( (x,y,z) - A ) = 0.
Para obter um vetor normal posso pegar dois vetores que estão no plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}) e calcular o produto vetorial (cross product)
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC},
pois o produto vetorial de dois vetores no plano sempre é perpendicular ao plano. Agora vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} subtraindo coordenadas:
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - (-2),\; 4 - 1,\; 2 - 0) = (1,\;3,\;2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0 - (-2),\; -2 - 1,\; 2 - 0) = (2,\;-3,\;2).

Passo 4

Agora calculo o produto vetorial \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Usando a regra do determinante (expansão por co-fatores):
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix}.
Expandindo componente a componente:
  • componente x (multiplicando por \mathbf{i}):
n_x = 3\cdot 2 - 2\cdot(-3) = 6 + 6 = 12.
  • componente y (atenção ao sinal negativo na expansão):
n_y = -\big(1\cdot 2 - 2\cdot 2\big) = -(2 - 4) = -(-2) = 2.
  • componente z:
n_z = 1\cdot(-3) - 3\cdot 2 = -3 - 6 = -9.
Portanto
\mathbf{n} = (12,\;2,\;-9).

Passo 5

Observação importante: \mathbf{n}\neq(0,0,0), logo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são colineares e os três pontos não estão sobre a mesma reta — existe exatamente um plano que os contém.

Passo 6

Usando a condição de ortogonalidade do normal com qualquer vetor do plano e o ponto A, a equação do plano é
\mathbf{n}\cdot \big( (x,y,z) - A \big) = 0.
Substituindo \mathbf{n}=(12,2,-9) e A=(-2,1,0):
(12,2,-9)\cdot (x-(-2),\; y-1,\; z-0) = 0.
Isso é
12(x+2) + 2(y-1) -9(z) = 0.

Passo 7

Agora eu desenvolvo e simplifico a equação:
12x + 24 + 2y - 2 - 9z = 0,
12x + 2y - 9z + 22 = 0.
Como verificação rápida, posso checar que B e C satisfazem a equação:
Para B=(-1,4,2):
12(-1) + 2\cdot 4 - 9\cdot 2 + 22 = -12 + 8 -18 + 22 = 0.
Para C=(0,-2,2):
12\cdot 0 + 2(-2) -9\cdot 2 + 22 = 0 -4 -18 +22 = 0.
As contas fecham: ambos os pontos estão no plano.

Resposta

12x + 2y - 9z + 22 = 0

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