Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
passa pelos pontos A=(-2,1,0), B=(-1,4,2) e C=(0,-2,2)
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço e pede a equação geral do(s) plano(s) que passa(m) por eles. Os pontos são:
A = (-2,\,1,\,0)
B = (-1,\,4,\,2)
C = (0,\,-2,\,2)
A pergunta é: determinar a equação do plano que passa por A, B e C.
Passo 2
Vou explicar a ideia que vou usar (calma — é super padrão e muito útil na prova). A equação geral de um plano no espaço tem a forma
a x + b y + c z + d = 0,
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano (ou seja, um vetor perpendicular a todo vetor que tangencia o plano). Se eu conseguir um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) e um ponto qualquer do plano (por exemplo A), posso escrever a equação do plano usando o produto escalar:
\mathbf{n}\cdot ( (x,y,z) - A ) = 0.
Para obter um vetor normal posso pegar dois vetores que estão no plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}) e calcular o produto vetorial (cross product)
Observação importante: \mathbf{n}\neq(0,0,0), logo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são colineares e os três pontos não estão sobre a mesma reta — existe exatamente um plano que os contém.
Passo 6
Usando a condição de ortogonalidade do normal com qualquer vetor do plano e o ponto A, a equação do plano é
\mathbf{n}\cdot \big( (x,y,z) - A \big) = 0.
Substituindo \mathbf{n}=(12,2,-9) e A=(-2,1,0):
(12,2,-9)\cdot (x-(-2),\; y-1,\; z-0) = 0.
Isso é
12(x+2) + 2(y-1) -9(z) = 0.
Passo 7
Agora eu desenvolvo e simplifico a equação:
12x + 24 + 2y - 2 - 9z = 0,
12x + 2y - 9z + 22 = 0.
Como verificação rápida, posso checar que B e C satisfazem a equação: